z-Koordinate d. Punktes fehlt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Di 29.12.2009 | | Autor: | pkw21 |
| Aufgabe | Von einer geraden rechteckigen Pyramide kennt man die Basiseckpunkte [A(5/-4/8), B(1/4/16), C(1/10/z), D] und die Länge der Höhe [mm] h=3\wurzel{2}.
[/mm]
Ermittle die fehlenden Eckpunktskoordinaten (2Lösungen S1 und S2) und berechene das Volumen der Pyramide! |
Hallo,
Ich bekomme den Anfang für dieses Bsp einfach nicht hin, da die z-Koordinate des Punktes C nicht gegeben ist.
Dann wüsste ich weiter: würde mir D und den Normalvektor ausrechnen, Ebene aufstellen und die Spitze ausrechnen.
Nur warum soll es 2 verschiedene Lösungen für die Spitze S geben?
Vielen Dank im Vorhinein,
pkw21
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 29.12.2009 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Von einer geraden rechteckigen Pyramide kennt man die
das Schlüsselwort ist rechteckig.
Die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] sind also orthogonal, daraus lässt sich z (=-8) bestimmen.
>würde mir D und den Normalvektor ausrechnen
das Schlüsselwort ist den.
Es gibt immer unendlich viele Normalenvektoren, insbesondere solche, die "nach oben" und solche, die "nach unten" zeigen.
Zwei von all diesen haben die Länge h.
Gruß Sax
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Di 29.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
es fehlen Dir zwei Punkte. D ist "nur" der vierte Eckpunkt der Pyramidengrundfläche, liegt also mit A,B,C in einer Ebene und bildet mit diesen ein Rechteck.
Die Pyramidenspitze S kann nun (wie ja schon erwähnt) über oder unter der Grundfläche liegen. Dabei darfst Du hier sicher annehmen, dass die Spitze genau über oder unter dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, sonst hättest Du nicht nur zwei, sondern unendlich viele Lösungen.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> es fehlen Dir zwei Punkte. D ist "nur" der vierte Eckpunkt
> der Pyramidengrundfläche, liegt also mit A,B,C in einer
> Ebene und bildet mit diesen ein Rechteck.
>
> Die Pyramidenspitze S kann nun (wie ja schon erwähnt)
> über oder unter der Grundfläche liegen. Dabei darfst Du
> hier sicher annehmen, dass die Spitze genau über oder
> unter dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, sonst
> hättest Du nicht nur zwei, sondern unendlich viele
> Lösungen.
>
> lg
> reverend
Hallo,
diese Information muss man nicht hinein-interpretieren
um eine unendliche Lösungsvielfalt zu vermeiden,
sondern sie steckt in der Angabe, dass die Pyramide
gerade sein soll.
Gruß Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 29.12.2009 | | Autor: | pkw21 |
| Aufgabe | | Zeige, dass ADS1S2 ein regelmäßiges Tetraeder bildet! |
Danke für die Antworten!
Habe nun folgendes gemacht:
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] mal [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und mit dem skalaren Produkt die fehlende Koordinate zC=12 rausbekommen.
Dann habe ich [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] mit [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] gekreuzt, um den 1. Normalvektor zu bekommen:
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] x [mm] \overrightarrow{BA}=(0/6/-4) [/mm] x (4/-8/-12)=(-104/-16/-24)
Weiters habe ich den Mittelpunkt M=(A+C)/2=(3/3/10) ausgerechnet
und folgende Rechnung aufgestellt:
[mm] S1=M+\vec{n0}*h
[/mm]
[mm] S1=(3/3/10)+[(-104/-16/-24)/\wurzel{104^{2}+16^{2}+24^{2}}]*3\wurzel{2}
[/mm]
S1=(-1,09/2,37/9,06)
S2 habe ich schließlich auf dieselbe Weise bekommen, den Normalvektor in die andere Richtung ausgerechnet (alle Vorzeichen umgekehrt) und wieder in die Formel [mm] S2=M+\vec{n0}*h [/mm] eingesetzt.
Stimmt das grundsätzlich so oder habe ich mich geirrt?
Nun soll man noch zeigen, dass ADS1S2 ein regelmäßiges Tetraeder bildet. Wie mache ich das?
Und was bedeutet eigentlich regelmäßig - alle A gleich groß, alle Seiten gleich lang,...? Laut meiner Rechnung würde es dann nicht stimmen (sind nicht alle gleich lang).
LG,
pkw21
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 29.12.2009 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Zeige, dass ADS1S2 ein regelmäßiges Tetraeder bildet!
> Danke für die Antworten!
>
> Habe nun folgendes gemacht:
> [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] mal [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] und mit dem
> skalaren Produkt die fehlende Koordinate zC=12
> rausbekommen.
Nach meiner Rechnung ist z=10 (sorry, hatte mich oben in der Reihenfolge der Punkte geirrt)
>
> Dann habe ich [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] mit [mm]\overrightarrow{BA}[/mm]
> gekreuzt, um den 1. Normalvektor zu bekommen:
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] x [mm]\overrightarrow{BA}=(0/6/-4)[/mm] x
> (4/-8/-12)=(-104/-16/-24)
>
Nach meiner Rechnung ist [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -8 \\ -8}
[/mm]
> Weiters habe ich den Mittelpunkt M=(A+C)/2=(3/3/10)
> ausgerechnet
> und folgende Rechnung aufgestellt:
>
> [mm]S1=M+\vec{n0}*h[/mm]
>
> [mm]S1=(3/3/10)+[(-104/-16/-24)/\wurzel{104^{2}+16^{2}+24^{2}}]*3\wurzel{2}[/mm]
> S1=(-1,09/2,37/9,06)
>
> S2 habe ich schließlich auf dieselbe Weise bekommen, den
> Normalvektor in die andere Richtung ausgerechnet (alle
> Vorzeichen umgekehrt) und wieder in die Formel
> [mm]S2=M+\vec{n0}*h[/mm] eingesetzt.
>
> Stimmt das grundsätzlich so oder habe ich mich geirrt?
>
>
> Nun soll man noch zeigen, dass ADS1S2 ein regelmäßiges
> Tetraeder bildet. Wie mache ich das?
> Und was bedeutet eigentlich regelmäßig - alle A gleich
> groß,
Was soll das heißen ?
> alle Seiten gleich lang,...?
Ja !
> Laut meiner Rechnung
> würde es dann nicht stimmen (sind nicht alle gleich
> lang).
>
> LG,
> pkw21
>
Deine Ideen sollten aber richtig sein.
Gruß Sax
|
|
|
|
