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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:52 Mo 08.08.2016 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Anwenden der Euler-Methode für eine Diskretisierung einer PDE lieferte mir
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[mm] u_{i+1,j}=u_{i,j}+h_t\left(a_1u_{i,j}+b_1+\frac{a_2u_{i,j+1}-2a_2u_{i,j}+a_2u_{i,j-1}}{h_x^2}+\frac{a_3u_{i,j+1}-a_3u_{i,j-1}}{2h_x}~~\right)\qquad [/mm] (1),
$$
wobei der Index $i$ die Zeit und $j$ den Raum repräsentiert, [mm] $a_1,b_1,a_2$ [/mm] Konstanten sind und [mm] $h_t$ [/mm] bzw. [mm] $h_x$ [/mm] die Schrittweiten bzgl. Zeit bzw. Raum sind.
Hierauf wende ich die Z-Transformation an und erhalte
$$
[mm] \left(z-1-a_1h_t+\frac{2a_2h_t}{h_x^2}\right)\mathcal{Z}(u_{i,j})=zu_{0,j}+b_1h_t\mathcal{Z}(1)+\left(\frac{a_2h_t}{h_x^2}+\frac{a_3h_t}{2h_x}\right)\mathcal{Z}(u_{i,j+1})+\left(\frac{a_2h_t}{h_x^2}-\frac{a_3h_t}{2h_x}\right)\mathcal{Z}(u_{i,j-1})\qquad [/mm] (2)
$$
Ich suche die Nullstellen und Polstellen der Z-Transformation [mm] $\mathcal{Z}(u_{i,j})$. [/mm] |
Hallo!
Ich denke, man muss wohl
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[mm] H(z):=\left(z-1-a_1h_t+\frac{2a_2h_t}{h_x^2}\right)
[/mm]
$$
und
$$
[mm] G(z):=zu_{0,j}+b_1h_t\mathcal{Z}(1)+\left(\frac{a_2h_t}{h_x^2}+\frac{a_3h_t}{2h_x}\right)\mathcal{Z}(u_{i,j+1})+\left(\frac{a_2h_t}{h_x^2}-\frac{a_3h_t}{2h_x}\right)\mathcal{Z}(u_{i,j-1})
[/mm]
$$
setzen und dann für die Nullstellen von [mm] $\mathcal{Z}(u_{i,j})$ [/mm] die Nullstellen von $G(z)$ und für die Polstellen von [mm] $\mathcal{Z}(u_{i,j})$ [/mm] die Nullstellen von $H(z)$ berechnen.
[mm] \textbf{Polstellen:}
[/mm]
$$
[mm] H(z)=0~\Leftrightarrow~z=1+a_1h_t-\frac{2a_2h_t}{h_x^2}
[/mm]
$$
[mm] \textbf{Nullstellen:}
[/mm]
Hier habe ich Probleme $G(z)=0$ zu lösen.
Was ich noch ergänzend hinzufügen kann, ist, dass [mm] $\mathcal{Z}(1)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=\frac{z}{z-1}$ [/mm] für [mm] $\lvert z\rvert [/mm] >1$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 10.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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