z.Z.: Zusammenhängende Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 16.11.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | | Es sei X ein metrischer Raum, M [mm] \subseteq [/mm] X zusammenhängend. Zeigen Sie, dass jede Menge N mit M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq \overline{M} [/mm] zusammenhängend ist. |
Schönen guten Tag,
Aufgrund unseres, diesbezüglichen Themas, etwas mageren Skriptes mit so ziemlich keinen Beispielen fällt es mir und meiner Gruppe von Kommiltonen diese Aufgabe zu bearbeiten äußerst schwer.
Meine Idee wäre es mit der Angabe M [mm] \subseteq [/mm] N eine lokal-konstante Funktion f:N [mm] \to \IR [/mm] zu konstruieren und zu zeigen, dass diese konstant ist. Das ist der einzig bauchbare Ansatz den ich aus meinem Skript rauskriege.
Leider weiß ich, aufgrund mangelnder Beispiele im Skriptum, partout nicht wie ich das notieren soll. Kann mir da jemand helfen oder einen großzügigen Schubs geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 16.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
Was hat das ganze eigentlich mit Zahlentheorie zu tun?
> Es sei X ein metrischer Raum, M [mm]\subseteq[/mm] X
> zusammenhängend. Zeigen Sie, dass jede Menge N mit M
> [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq \overline{M}[/mm] zusammenhängend ist.
> Schönen guten Tag,
>
> Aufgrund unseres, diesbezüglichen Themas, etwas mageren
> Skriptes mit so ziemlich keinen Beispielen fällt es mir
> und meiner Gruppe von Kommiltonen diese Aufgabe zu
> bearbeiten äußerst schwer.
>
> Meine Idee wäre es mit der Angabe M [mm]\subseteq[/mm] N eine
> lokal-konstante Funktion f:N [mm]\to \IR[/mm] zu konstruieren und zu
> zeigen, dass diese konstant ist. Das ist der einzig
> bauchbare Ansatz den ich aus meinem Skript rauskriege.
Du musst nicht so eine Funktion konstruieren, sondern eine nehmen und zeigen dass sie konstant ist!
Also:
Sei $f : N [mm] \to \IR$ [/mm] lokal konstant. (Und damit auch stetig.)
Jetzt weisst du, dass [mm] $f|_M$ [/mm] ebenfalls lokal konstant ist.
Da $M$ zusammenhaengend ist, folgt, dass [mm] $f|_M$ [/mm] konstant ist.
Jetzt musst du daraus folgern, dass $f$ auch auf $N$ konstant ist. (Dafuer kannst du z.B. die Stetigkeit benutzen, und halt dass $N [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Mahlzeit!
Wie es in Zahlentheorie gekommen ist weiß ich auch nicht, war wohl die Müdigkeit... Tut mir Leid, wurde aber schon richtig verschoben :)
Danke für die Antwort. Soweit konnte ich noch folgen.
"Sei $f : N [mm] \to \IR$ [/mm] lokal konstant. (Und damit auch stetig.)
Jetzt weisst du, dass [mm] $f|_M$ [/mm] ebenfalls lokal konstant ist.
Da $M$ zusammenhaengend ist, folgt, dass [mm] $f|_M$ [/mm] konstant ist.
Jetzt musst du daraus folgern, dass $f$ auch auf $N$ konstant ist."
Also:
Da $M$ zusammenhängend ist, muss automatisch [mm] $\overline{M}$ [/mm] auch zusammenhängend sein, somit ist [mm] $f|_\overline{M}$ [/mm] auch lokal-konstant und konstant. Daraus sehe ich wegen [mm] $N\subseteq\overline{M}$, [/mm] dass $f : N [mm] \to \IR$ [/mm] lokal-konstant ist...
(Dreh ich mich gerade im Kreis? Habe ich doch am Anfang genommen!)
Und... da [mm] $f|_N$ [/mm] lokal-konstant ist, ist es auch stetig und somit.... konstant?
Irgendwie komm ich nicht vorran... was wünscht ich mir etwas mehr Vorlesungstermine für diesen Kurs... Das Skritpum gibt garnichts her dazu...
Beste Grüße
Hendrik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Do 18.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wie es in Zahlentheorie gekommen ist weiß ich auch nicht,
> war wohl die Müdigkeit... Tut mir Leid, wurde aber schon
> richtig verschoben :)
>
> Danke für die Antwort. Soweit konnte ich noch folgen.
>
> "Sei [mm]f : N \to \IR[/mm] lokal konstant. (Und damit auch
> stetig.)
> Jetzt weisst du, dass [mm]f|_M[/mm] ebenfalls lokal konstant ist.
> Da [mm]M[/mm] zusammenhaengend ist, folgt, dass [mm]f|_M[/mm] konstant ist.
> Jetzt musst du daraus folgern, dass [mm]f[/mm] auch auf [mm]N[/mm] konstant
> ist."
>
> Also:
>
> Da [mm]M[/mm] zusammenhängend ist, muss automatisch [mm]\overline{M}[/mm]
> auch zusammenhängend sein,
Hattet ihr das in der Vorlesung? Wenn nicht, dann folgt es aus dieser Aufgabe -- du kannst es also noch nicht benutzen.
> somit ist [mm]f|_\overline{M}[/mm] auch
Moment! $f$ ist auf einer (echten) Teilmenge von [mm] $\overline{M}$ [/mm] definiert. Du musst also schon sagen, wie du $f$ lokal konstant fortsetzen willst. (Z.B. kannst du die Funktion $f(x) = 0$ fuer $x < 1$, $f(x) = 1$ fuer $x > 1$, die auf $(0, 1) [mm] \cup [/mm] (1, 2)$ lokal konstant ist, nicht auf $[0, 2]$ lokal konstant fortsetzen. Das ist also alles andere als trivial!)
Nimm doch mal einen Punkt $x [mm] \in [/mm] N [mm] \setminus [/mm] M$. Dann ist $x [mm] \in \partial [/mm] M$. Nun gibt es eine Umgebung $U$ von $x$, so dass $f$ auf $U [mm] \cap [/mm] N$ konstant ist (weisst du warum?). Zeige jetzt, dass $f(x)$ den gleichen Wert annehmen muss wie $f$ auf $M$ selber -- dort ist es ja konstant.
Da $x$ beliebig ist, folgt, dass $f$ auf ganz $N$ konstant ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Do 18.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Das Problematische ist, dass wir dazu recht wenig in der Vorlesung hatten. Desweiteren sind Dozent und Übungsleiter (der auch die Übung konzipiert) zwei verschiedene Personen, die sich nicht immer gut absprechen... (weswegen die andere Aufgabe doch gestrichen wurde)
So klingt das eigentlich alles recht plausibel... ich besprech das morgen mal mit meinen Kommilitonen und meld mich morgen nochmal...
Vielen Dank für die Geduld und die super ausführlichen Antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Do 18.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Das Problematische ist, dass wir dazu recht wenig in der
> Vorlesung hatten. Desweiteren sind Dozent und Übungsleiter
> (der auch die Übung konzipiert) zwei verschiedene
> Personen, die sich nicht immer gut absprechen... (weswegen
> die andere Aufgabe doch gestrichen wurde)
Sowas kommt leider oefter vor...
> So klingt das eigentlich alles recht plausibel... ich
> besprech das morgen mal mit meinen Kommilitonen und meld
> mich morgen nochmal...
Viel Erfolg!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 18.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Da morgen Abgabe ist ist das mein letzter Versuch das alles richtig zu notieren. Habe nun auch mit einigen Leuten heute gesprochen und wage mich an einen Lösungsversuch...
| Aufgabe | | Es sei X ein metrischer Raum, M [mm] \subseteq [/mm] X zusammenhängend. Zeigen Sie, dass jede Menge N mit M [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq \overline{M} [/mm] zusammenhängend ist. |
Sei [mm] $f:N\to\IR$ [/mm] lokal konstant (somit stetig).
Daraus folgt, dass [mm] $f|_M$ [/mm] lokal konstant ist.
Da $M$ zusammenhängend, folgt: [mm] $f|_M$ [/mm] konstant.
Sei [mm] $f|_M$ [/mm] = const. = c und sei [mm] $f|_N=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \mbox{ element N} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ nicht element N} \end{cases}$
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in N\backslash [/mm] M$ (beliebig) existiert eine Umgebung $U(x)$ derart, dass [mm] $f|_{U\cap M} [/mm] = c$ konstant ist, folglich [mm] $f|_{U\cap N} [/mm] = c$ lokal konstant ist. Da x beliebig ist, ist [mm] f|_{U\cap N} [/mm] konstant.
[mm] \Rightarrow $f|_M(x) [/mm] = [mm] f|_{U\cap N}(x) [/mm] = c$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in N\backslash [/mm] M$ (oder doch nur N?)
[mm] \Rightarrow $f|_N$ [/mm] ist konstant [mm] \Rightarrow [/mm] N ist zusammenhängend.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 19.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei X ein metrischer Raum, M [mm]\subseteq[/mm] X
> zusammenhängend. Zeigen Sie, dass jede Menge N mit M
> [mm]\subseteq[/mm] N [mm]\subseteq \overline{M}[/mm] zusammenhängend ist.
>
>
> Sei [mm]f:N\to\IR[/mm] lokal konstant (somit stetig).
> Daraus folgt, dass [mm]f|_M[/mm] lokal konstant ist.
> Da [mm]M[/mm] zusammenhängend, folgt: [mm]f|_M[/mm] konstant.
>
> Sei [mm]f|_M[/mm] = const. = c und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sei [mm]f|_N=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \mbox{ element N} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ nicht element N} \end{cases}[/mm]
Was genau soll das werden? $f$ ist doch gerade auf $N$ definiert und nicht auf einer Uebermenge. Du brauchst also [mm] $f|_N$ [/mm] nicht zu definieren. Das ist einfach $f$.
> [mm]\forall x \in N\backslash M[/mm] (beliebig) existiert eine
> Umgebung [mm]U(x)[/mm] derart, dass [mm]f|_{U\cap M} = c[/mm] konstant ist,
> folglich [mm]f|_{U\cap N} = c[/mm] lokal konstant ist.
Moment. Du machst es hier genau falsch herum.
Du weisst: $f$ ist lokal konstant
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] U [mm] \text{ Umgebung von } [/mm] x : [mm] f|_{U \cap N} \text{ konstant}$
[/mm]
Ist also [mm] $f|_{U \cap N} [/mm] = c'$ mit $c' [mm] \in \IR$, [/mm] so musst du noch $c = c'$ zeigen. Dazu brauchst du, dass $U$ eine Umgebung ist und dass $N [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] ist.
Daraus folgt dann schliesslich, dass $f$ auf ganz $N$ konstant ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f|_M(x) = f|_{U\cap N}(x) = c[/mm] [mm]\forall x \in N\backslash M[/mm]
> (oder doch nur N?)
Du solltest schreiben: $f(x) = c$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] N$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f|_N[/mm] ist konstant [mm]\Rightarrow[/mm] N ist
> zusammenhängend.
Das zweite [mm] $\Rightarrow$ [/mm] folgt, da $f$ beliebig war.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:14 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Was mich noch verwirrt ist, dass ich anfangs ja $x [mm] \in N\backslash [/mm] M$ nehmen sollte, hab versucht mich daran zu orientieren....
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Sei $ [mm] f:N\to\IR [/mm] $ lokal konstant (somit stetig).
Daraus folgt, dass $ [mm] f|_M [/mm] $ lokal konstant ist.
Da $ M $ zusammenhängend, folgt: $ [mm] f|_M [/mm] $ konstant.
Sei $ [mm] f|_M [/mm] $ = const. = c
Da $f$ ist lokal konstant: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] U [mm] \text{ Umgebung von } [/mm] x : [mm] f|_{U \cap N} \text{ konstant} [/mm] $
Sei $ [mm] f|_{U \cap N} [/mm] = c' $ mit $ c' [mm] \in \IR [/mm] $,
Jetzt muss ich zeigen, dass $c = c'$ ist, also im weiteren Sinne $ [mm] f|_M [/mm] = [mm] f|_{U \cap N} [/mm] $
Dazu soll ich $ N [mm] \subseteq \overline{M} [/mm] $ verwenden.
Wenn ich [mm] $x_0 \in N\backslashM$ [/mm] wähle und sage, dass ... hmm...
es eine Umgebung [mm] U(x_0) [/mm] gibt, sodass
[mm] $f|_{U \cap N}$ [/mm] = [mm] $f|_{U \cap M}$ \Rightarrow [/mm] $c = c'$ [mm] $\forall x_0 \in N\backslashM$
[/mm]
Hmm... wenn N [mm] \in \overline{M} [/mm] ist, ist die Vereinigung von der Umgebung und N... hat gleiche Elemente wie die Umgebung vereinigt mit M... bis auf die Randpunkte... *verwirrt*
[mm] \Rightarrow [/mm] $ f $ konstant auf ganz $ N $
$ f(x) = c $ für alle $ x [mm] \in [/mm] N $.
Da $f$ beliebig ist, ist $ N zusammenhängend.
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Was wünscht ich mir mehr Topologie im Studium gehabt zu haben, sollte mir für die Semesterferien mal solch eine Nachtlektüre anschaffen!
LG Hendrik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:14 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 21.11.2010 | | Autor: | Wolve |
Danke Felix für die hilfreichen Antworten.
Alleine wäre ich wohl nicht soweit gekommen.
Auch mein Verständnis für die Thematik hat sich ein wenig verbessert.
Hab gleich neue Ansätze für Gute-Nacht-Lektüren für die Semesterferien...
Also nochmals Danke dir :)
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