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Forum "Folgen und Reihen" - z.z. Cauchy-Folge
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z.z. Cauchy-Folge: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mi 28.11.2007
Autor: Skyside

Aufgabe
Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine reelle Zahlenfolge mit [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Weisen Sie nach, dass [mm] (a_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Hinweis: Mehrfaches Anwenden der Dreiecksungleichung und geometrische Reihe.

#
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Hallo,

ich sitze an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf den richtige Ansatz.
Könnt ihr mir helfen?

Gruss und danke im Voraus

Skyside

        
Bezug
z.z. Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mi 28.11.2007
Autor: Somebody


> Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine reelle Zahlenfolge mit
> [mm]|a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm] Weisen Sie
> nach, dass [mm](a_{n})[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
>  Hinweis: Mehrfaches Anwenden der Dreiecksungleichung und
> geometrische Reihe.
>  
> #
>  # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  Hallo,
>  
> ich sitze an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf den
> richtige Ansatz.
>  Könnt ihr mir helfen?

Du musst also zeigen, dass es für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $m,n>n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$ [/mm]

Lassen wir die Frage der Wahl von [mm] $n_0$ [/mm] (in Abhängigkeit von einem vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$) [/mm] zuerst noch offen, nehmen wir aber an, es sei ein [mm] $n_0$ [/mm] festgelegt und es sei zudem [mm] $n\geq m>n_0$. [/mm] Dann zeigt eine wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung, dass

[mm]|a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m|[/mm]


Die rechte Seite dieser Ungleichung lässt sich nun, dank der vorausgesetzten Beziehung [mm] $|a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n}$, [/mm] durch ein Reststück [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty 3^{-n}$ [/mm] der geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty 3^{-n}$ [/mm] von oben begrenzen, das für [mm] $n_0\rightarrow \infty$ [/mm] natürlich [mm] $\rightarrow [/mm] 0$ gehen muss. Daher existiert also zu jedem noch so kleinen vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$, [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$, [/mm] für alle [mm] $n,m>n_0$. [/mm]


Bezug
                
Bezug
z.z. Cauchy-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Fr 30.11.2007
Autor: Kreide

wozu hast du die dreicksungleichung benutzt? ich sehe das irgendwie nich ..;)

Bezug
                        
Bezug
z.z. Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Fr 30.11.2007
Autor: angela.h.b.


> wozu hast du die dreicksungleichung benutzt? ich sehe das
> irgendwie nich ..;)

Hallo,

weil man damit dann die Voraussetzung

>>> Es sei $ [mm] (a_{n}) [/mm] $ eine reelle Zahlenfolge mit $ [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\le 3^{-n} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN. [/mm] $

zum Abschätzen von

>>  $ [mm] |a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m| [/mm] $

verwenden kann, was ja Somebody bereits schrieb.

Gruß v. Angela

Bezug
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