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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - z^{4} = 16i
z^{4} = 16i < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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z^{4} = 16i: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 10.05.2010
Autor: Olga1234

Aufgabe
Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^{4} [/mm] = 16i.

auf dem herkömmlichen weg mittels
[mm] (a+ib)^{4} [/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm] (a^{4} [/mm] - [mm] 6a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] + [mm] (4a^{3}b [/mm] - [mm] 4ab^{3} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] i

aus [mm] z^{4} [/mm] = 16 i folgt, dass
[mm] (a^{4} [/mm] - [mm] 6a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] = 0
und
[mm] (4a^{3}b [/mm] - [mm] 4ab^{3} [/mm] + [mm] b^{4}) [/mm] = 16

aber wie komme ich jetzt weiter?



        
Bezug
z^{4} = 16i: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mo 10.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Olga,

> Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
>  auf dem herkömmlichen weg mittels
> [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
>  
> aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
>  und
>  [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
>  
> aber wie komme ich jetzt weiter?

Puh, das ist hässlich ...

Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.

Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?

Die spuckt dir doch relativ schnell die 4 Lösungen aus ...

Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.

Es ist [mm] $z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Di 11.05.2010
Autor: fred97


> Hallo Olga,
>  
> > Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> > Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
>  >  auf dem herkömmlichen weg mittels
> > [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> > [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
>  >  
> > aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> > [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
>  >  und
>  >  [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
>  >  
> > aber wie komme ich jetzt weiter?
>  
> Puh, das ist hässlich ...
>  
> Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.
>  
> Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
>  
> Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus


.................. 16 ?? ...  ist das nicht ein wenig viel ??

Gruß FRED




> ...
>  
> Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.
>  
> Es ist [mm]z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}[/mm]
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:31 Di 11.05.2010
Autor: schachuzipus

Hi Fred,

> > Hallo Olga,
>  >  
> > > Finden Sie alle reellen und komplexen Lösungen der
> > > Gleichung [mm]z^{4}[/mm] = 16i.
>  >  >  auf dem herkömmlichen weg mittels
> > > [mm](a+ib)^{4}[/mm] = (a+ib)*(a+ib)*(a+ib)*(a+ib) = [mm](a^{4}[/mm] -
> > > [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] + [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] i
>  >  >  
> > > aus [mm]z^{4}[/mm] = 16 i folgt, dass
> > > [mm](a^{4}[/mm] - [mm]6a^{2}b^{2}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 0
>  >  >  und
>  >  >  [mm](4a^{3}b[/mm] - [mm]4ab^{3}[/mm] + [mm]b^{4})[/mm] = 16
>  >  >  
> > > aber wie komme ich jetzt weiter?
>  >  
> > Puh, das ist hässlich ...
>  >  
> > Es gibt doch schöne Lösungsformeln für sowas.
>  >  
> > Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> > Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
>  >  
> > Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus
>
>
> .................. 16 ?? ...  ist das nicht ein wenig viel

Nicht, wenn man alles 4mal aufschreibt ;-)

Hatte mich verschrieben, danke fürs Aufpassen!


> ??
>  
> Gruß FRED
>  
>
>
>
> > ...
>  >  
> > Auch eine Umschreibung in die Eulersche Form kann helfen.
>  >  
> > Es ist [mm]z^4=16i=16\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}i}[/mm]


Gruß  

schachuzipus
  


Bezug
                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:43 Di 11.05.2010
Autor: felixf

Hallo,

> > Hattet ihr nicht die trigonometrische Darstellung komplexer
> > Zahlen und in diesem Zusammenhang die Formel von Moivre?
>  >  
> > Die spuckt dir doch relativ schnell die 16 Lösungen aus
>
>
> .................. 16 ?? ...  ist das nicht ein wenig viel
> ??

Auch wenn die Formel von Moivre da nicht viel hilft, aber vielleicht meint er irgendeinen Quotienten von [mm] $\IZ[i]$, [/mm] der kein Integritaetsbereich ist. Da kann es ruhig mal vorkommen, dass die Restklasse von [mm] $x^4 [/mm] - 16 i$ genau 16 Loesungen hat ;-)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 Di 11.05.2010
Autor: Olga1234

jetzt bin ich verwirrt!
was genau ist jetzt der ansatz, diese formel zu lösen?

Bezug
                                
Bezug
z^{4} = 16i: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Di 11.05.2010
Autor: Olga1234

was ist nun der ansatz?

Bezug
                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Di 11.05.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Olga!


Siehe mal hier unter MBMoivre-Formel.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 11.05.2010
Autor: stffn

Ich hab das mal mit der Formel berechnet, habe für k=0,...3 jeweils Ergebnisse von 2,014 bis 2,178 raus, also gerundet. waren sehr Krumme Werte [mm] (cos(\bruch{\pi/2}{4})... [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi/2}{4})), [/mm] sind aber glaube ich richtig. Du kannst ja mal deine Ergebnisse posten:)

Bezug
                                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Di 11.05.2010
Autor: fred97


> Ich hab das mal mit der Formel berechnet, habe für
> k=0,...3 jeweils Ergebnisse von 2,014 bis 2,178 raus,  also
> gerundet.

Da warst Du aber seeeeeeehr großzügig !

Ist [mm] z_0 [/mm] eine Lösung von [mm] $z^4=16i$, [/mm] so kann [mm] z_0 [/mm] keine reelle Zahl sein ! Schon deswegen können Deine Ergebnisse nicht stimmen

Weiter gilt für solch ein [mm] z_0: $|z_0|^4 [/mm] = 16$, also [mm] $|z_0|=2$ [/mm]

Deine Ergebnisse stimmen also vorne und hinten nicht.

Zeig mal Deine Rechnungen.

FRED




>  waren sehr Krumme Werte [mm](cos(\bruch{\pi/2}{4})...[/mm]
> und [mm]sin(\bruch{\pi/2}{4})),[/mm] sind aber glaube ich richtig.
> Du kannst ja mal deine Ergebnisse posten:)


Bezug
                                                                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 11.05.2010
Autor: stffn

Verdammt, da war doch jemand schneller:( ist mir nämlich auch gerade aufgefallen, Ich war mal wieder zu voreilig und habe einfach mal das i nicht mitgenommen. Meine neuen Ergebnisse lauten:
[mm] z_{k=0}=2+0.014i [/mm]
[mm] z_{k=1}=2+0.068i [/mm]
[mm] z_{k=2}=2+0.122i [/mm]
[mm] z_{k=3}=2+0.178i [/mm]

Ich hoffe das stimmt. Sicher bin ich mir nicht, das sage ich besser jetzt schon.
Ich habe einfach die Werte eingesetzt, also in

[mm] \wurzel[4]{z}=\wurzel[4]{16}*(cos(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4})+i*sin(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4})) [/mm]


Bezug
                                                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Di 11.05.2010
Autor: Roadrunner

Hallo stffn!


> [mm]z_{k=0}=2+0.014i[/mm]
> [mm]z_{k=1}=2+0.068i[/mm]
> [mm]z_{k=2}=2+0.122i[/mm]
> [mm]z_{k=3}=2+0.178i[/mm]

Diese Werte können gar nicht stimmen, da der Betrag jeweils größer als $2 \ = \ [mm] \wurzel[4]{16}$ [/mm] ist.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Di 11.05.2010
Autor: fred97


> Verdammt, da war doch jemand schneller:( ist mir nämlich
> auch gerade aufgefallen, Ich war mal wieder zu voreilig und
> habe einfach mal das i nicht mitgenommen. Meine neuen
> Ergebnisse lauten:
> [mm]z_{k=0}=2+0.014i[/mm]
>  [mm]z_{k=1}=2+0.068i[/mm]
>  [mm]z_{k=2}=2+0.122i[/mm]
>  [mm]z_{k=3}=2+0.178i[/mm]

Die stimmen nicht ! Wie gesagt : der Betrag jeder Lösung ist = 2


>  
> Ich hoffe das stimmt. Sicher bin ich mir nicht, das sage
> ich besser jetzt schon.
>  Ich habe einfach die Werte eingesetzt, also in
>
> [mm]\wurzel[4]{z}=\wurzel[4]{16}*(cos(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4})+i*sin(\bruch{(\pi/2)+k*2*\pi}{4}))[/mm]


Die Formel stimmt

FRED

>  


Bezug
                                                                                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Di 11.05.2010
Autor: stffn

Dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht hätte ich mich einfach nicht einmischen sollen. Aber ich erklär mal wie ich drauf gekommen bin:

[mm] \wurzel[4]{16}=2 [/mm]

[mm] cos(\bruch{(\pi/2)}{4})=0,99997\approx1 [/mm] , genau wie für k=1,...,3.
Ich habe also gerundet, deshalb die 2.
Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe, würde es aber gerne wissen.

Bezug
                                                                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Di 11.05.2010
Autor: fred97


> Dann weiß ich auch nicht weiter. Vielleicht hätte ich
> mich einfach nicht einmischen sollen. Aber ich erklär mal
> wie ich drauf gekommen bin:
>  
> [mm]\wurzel[4]{16}=2[/mm]
>  
> [mm]cos(\bruch{(\pi/2)}{4})=0,99997\approx1[/mm] , genau wie für
> k=1,...,3.
>  Ich habe also gerundet, deshalb die 2.
> Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe, würde es aber
> gerne wissen.


Lass einfach das runden !


FRED

Bezug
                                                                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Di 11.05.2010
Autor: leduart

Hallo
[mm] cos(\pi/8)\ne [/mm] 0.999... !!! wahrscheinlich hast du in deg statt in rad gerechnet. [mm] \pi/8 [/mm] entspricht 22.5°
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                
Bezug
z^{4} = 16i: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Di 11.05.2010
Autor: stffn

Damit hätten wir dann auch diesen Fehler gefunden...
DANKE!

Bezug
                                        
Bezug
z^{4} = 16i: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 11.05.2010
Autor: fred97

Für Olga und sffn:

Die 4-ten Wurzeln der komplexen Zahl 16i sind (so hat es Roadrunner gemeint):

              [mm] $\sqrt[4]{16}\cdot [/mm] exp( i [mm] (\varphi [/mm] + [mm] 2k\pi)/4)$, [/mm]

wobei k die Werte $0, 1, 2, 3$ durchläuft und [mm] $\varphi= \pi/2$ [/mm] ist .

FRED



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