z⁷ am Einheitskreis lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe.
Lösen Sie z⁷ am Einheitskreis! Bestimmen Sie die Lösungen auch geometrisch (Pythagoräischer Lehrsatz) und machen Sie die Probe mit einer komplexen Lösung.
Habe dazu folgendes im Skriptum gefunden.
Beispiel: z³=1 , 3 Lösungen
[mm] z_{1}=1, [/mm] n=3
[mm] \gamma=(2\pi*k/3), [/mm] k=0,1,2
[mm] z_{1}=cos [/mm] 0 + i*sin 0
[mm] z_{2}=cos (2\pi/3) [/mm] + i*sin [mm] (2\pi/3)
[/mm]
[mm] z_{3}=cos (4\pi/3) [/mm] + i*sin [mm] (4\pi/3)
[/mm]
(Das muss ich dann bei z⁷ wohl bis k=6 machen?)
Weiter geht es mit:
[mm] \Rightarrow z_{2}=(-1/2)+i*(\wurzel{3}/2) [/mm] und [mm] z_{2}=(-1/2)-i*(\wurzel{3}/2)
[/mm]
(Was wurde da gemacht?)
Damit ist:
[mm] z³_{3}=(-1/2)-i*(\wurzel{3}/2)³=
[/mm]
Warum?
Der Rest ist dann Binomischer Lehrsatz angewendet und vereinfacht bis nur noch 1 dasteht. (Ist das dann die Probe?)
Dazu gibt es noch diese Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde mich freuen wenn mir jemand die Schritte kurz erklären könnte, damit ich es dann auf z⁷ anwenden kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo sentineli!
> Beispiel: z³=1 , 3 Lösungen
> [mm]z_{1}=1,[/mm] n=3
>
> [mm]\gamma=(2\pi*k/3),[/mm] k=0,1,2
>
> [mm]z_{1}=cos[/mm] 0 + i*sin 0
> [mm]z_{2}=cos (2\pi/3)[/mm] + i*sin [mm](2\pi/3)[/mm]
> [mm]z_{3}=cos (4\pi/3)[/mm] + i*sin [mm](4\pi/3)[/mm]
>
> (Das muss ich dann bei z⁷ wohl bis k=6 machen?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau! Siehe auch  Moivre-Formel.
> Weiter geht es mit:
> [mm]\Rightarrow z_{2}=(-1/2)+i*(\wurzel{3}/2)[/mm] und
> [mm]z_{2}=(-1/2)-i*(\wurzel{3}/2)[/mm]
>
> (Was wurde da gemacht?)
Hier wurden die einzelnen Werte der Winkelfunktionen ermittelt:
[mm] $$\cos\left(\bruch{2}{3}\pi\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\sin\left(\bruch{2}{3}\pi\right) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{2}*\wurzel{3}$$
[/mm]
(Taschenrechner auf Bogenmaß stellen!)
> Damit ist:
> [mm]z³_{3}=(-1/2)-i*(\wurzel{3}/2)³=[/mm]
Achtung: Klammern setzen:
[mm] $$z_3^3 [/mm] \ = \ [mm] \red{\left[}-\bruch{1}{2}-i*\bruch{\wurzel{3}}{2}\red{\right]}^3 [/mm] \ = \ ...$$
> Warum?
> Der Rest ist dann Binomischer Lehrsatz angewendet und
> vereinfacht bis nur noch 1 dasteht. (Ist das dann die Probe?)
Genau: hier wurde die Probe gemacht!
> Dazu gibt es noch diese Skizze:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Bei [mm] $z^7$ [/mm] sollte dann ein gleichsitiges 7-Eck herauskommen.
Gruß vom
Roadrunner
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