z in kartesische Form bringen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne folgende komplexe Zahl in die Form z=a+bi
[mm] ln(-3-\wurzel{3}i) [/mm] |
In der Klausurvorbereitung Mathe I war die folgende Aufgabe bei der ich keinen Ansatz finde. Ich hoffe nun auf Euch. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo v6bastian, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne folgende komplexe Zahl in die Form z=a+bi
>
> [mm]ln(-3-\wurzel{3}i)[/mm]
> In der Klausurvorbereitung Mathe I war die folgende
> Aufgabe bei der ich keinen Ansatz finde. Ich hoffe nun auf
> Euch. Danke.
Was weißt Du denn über den komplexen Logarithmus? Gilt da auch, wie im Reellen, für [mm] z\in\IC [/mm] einfach [mm] \ln{(e^z)}=e^{\ln{z}}=z [/mm] ?
[mm] e^z [/mm] sollte Dir bekannt vorkommen...
Grüße
reverend
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Ich muss ehrlicherweise gestehen, dass ich nicht viel über komplexe Logarythmen weis... Einzige Idee dazu wäre
[mm] e^z=-3-\wurzel{3}i [/mm]
Aber selbst dann habe ich die [mm] e^z [/mm] vorne stehen.
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Hallo v6bastian,
> Ich muss ehrlicherweise gestehen, dass ich nicht viel über
> komplexe Logarythmen weis... Einzige Idee dazu wäre
>
> [mm]e^z=-3-\wurzel{3}i[/mm]
>
> Aber selbst dann habe ich die [mm]e^z[/mm] vorne stehen.
Schreibe die rechte Seite in der Form [mm]r*e^{i*\varphi}[/mm]
Gruss
MathePower
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O.k. verstehe. Dann versuche ich es mal.
|z| = [mm] \wurzel{((-3)^2+(\wurzel{-3})^2}=\wurzel{12}
[/mm]
arg(z) = [mm] arctan(\bruch{-3}{\wurzel{-3}})=\bruch{\pi}{3} [/mm] = 60°
Folglich wäre dann die Polarform gegeben:
[mm] e^z=\wurzel{12}*e^{i\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
Hm.. O.k. Man hat nun auf beiden Seiten die e-Funktion (bis auf einen Faktor).
Wäre es an dieser Stelle sinnvoll wieder "ln" einzusetzen?
Man bekäme dann z = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln 12 + [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] i , was der Form z=a+bi entsprechen würde (auch wenn das jetzt auf mich etwas seltsam wirkt).
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Hallo v6bastian,
> O.k. verstehe. Dann versuche ich es mal.
>
> |z| = [mm]\wurzel{((-3)^2+(\wurzel{-3})^2}=\wurzel{12}[/mm]
> arg(z) = [mm]arctan(\bruch{-3}{\wurzel{-3}})=\bruch{\pi}{3}[/mm] =
> 60°
>
> Folglich wäre dann die Polarform gegeben:
>
> [mm]e^z=\wurzel{12}*e^{i\bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
Das arg(z) stimmt nicht.
> Hm.. O.k. Man hat nun auf beiden Seiten die e-Funktion (bis
> auf einen Faktor).
>
> Wäre es an dieser Stelle sinnvoll wieder "ln"
> einzusetzen?
>
> Man bekäme dann z = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln 12 + [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] i
Bedenke, daß das nur der Hauptwert ist.
> , was der Form z=a+bi entsprechen würde (auch wenn das
> jetzt auf mich etwas seltsam wirkt).
Gruss
MathePower
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Ups, stimmt... Habe die Achsen vertauscht.
arg (z) = [mm] arctan(\bruch{\wurzel{-3}}{-3})=\bruch{\pi}{6} [/mm] = 30° +(180°)
Welche Nebenwerte treten hier noch auf? Evtl. ... -0,5 ln 12...?
Unabhängig der Haupt- und Nebenwerte (die ich trotzdem gerne verstehen möchte) wäre die Aufgabe damit aus Eurer Sicht erfüllt?
Danke im Voraus
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Hallo v6bastian,
> Ups, stimmt... Habe die Achsen vertauscht.
>
> arg (z) = [mm]arctan(\bruch{\wurzel{-3}}{-3})=\bruch{\pi}{6}[/mm] =
> 30° +(180°)
>
Das Argument stimmt trotzdem nicht,
denn für Real- und Imaginärteil jeweils kleiner Null,
liegt das Argument [mm]\varphi[/mm] im Intervall [mm]\left]\pi,\bruch{3\pi}{2}\right[[/mm]
> Welche Nebenwerte treten hier noch auf? Evtl. ... -0,5 ln
> 12...?
>
Bedenke, daß gilt:
[mm]e^{z}=r*e^{i\varphi}=r*e^{i*\left(\varphi+2k\pi\right)}[/mm]
Damit ist
[mm]z_{k}=\ln\left(r\right)+i*\left(\varphi+2k\pi\right), \ k\in \IZ[/mm]
Für k=0 erhält man den Hauptwert,
für [mm]k\not=0[/mm] die Nebenwerte.
> Unabhängig der Haupt- und Nebenwerte (die ich trotzdem
> gerne verstehen möchte) wäre die Aufgabe damit aus Eurer
> Sicht erfüllt?
>
Nein.
> Danke im Voraus
Gruss
MathePower
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Hallo noch mal.
Ich würde gerne nach der Samstagsvorlesung die Lösung meines Professors vorlegen und sie mit Euch diskutieren.
[mm] z=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi+2k\pi\right)
[/mm]
Bezüglich des Arguments von z hatte ich meinen Fehler bereits erkannt, dieses aber wohl nicht deutlich genug in dem Post herausgestellt. [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] war der Winkel + 180°. Bei eindeutiger Schreibweise wäre ich damit konform zu [mm] \bruch{7}{6}\pi [/mm] und damit zur Lösung
Was mich wundert ist, dass mein Professor auch nur eine Lösung aufgeschrieben hatte.
Ich dachte es müsse [mm] z_{0} [/mm] und [mm] z_{1} [/mm] geben? Sprich:
[mm] z_{0}=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi\right)
[/mm]
und
[mm] z_{1}=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi+2\pi\right)
[/mm]
Oder kann man k als allgemein verständlich ansehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo noch mal.
>
> Ich würde gerne nach der Samstagsvorlesung die Lösung
> meines Professors vorlegen und sie mit Euch diskutieren.
>
> [mm]z=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi+2k\pi\right)[/mm]
>
> Bezüglich des Arguments von z hatte ich meinen Fehler
> bereits erkannt, dieses aber wohl nicht deutlich genug in
> dem Post herausgestellt. [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] war der Winkel +
> 180°. Bei eindeutiger Schreibweise wäre ich damit konform
> zu [mm]\bruch{7}{6}\pi[/mm] und damit zur Lösung
>
> Was mich wundert ist, dass mein Professor auch nur eine
> Lösung aufgeschrieben hatte.
Nein, er hat unendlich viele Lösungen aufgeschrieben: für jedes k [mm] \in \IZ [/mm] eine.
FRED
>
> Ich dachte es müsse [mm]z_{0}[/mm] und [mm]z_{1}[/mm] geben? Sprich:
>
> [mm]z_{0}=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi\right)[/mm]
>
> und
>
> [mm]z_{1}=\ln\wurzel{12}+i\cdot{}\left(\bruch{7}{6}\pi+2\pi\right)[/mm]
>
> Oder kann man k als allgemein verständlich ansehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mo 16.01.2012 | | Autor: | v6bastian |
O.k. nehme alles zurück... Mir fällt es gerade wie Schuppen von den Augen.
Ich habe das k mit dem k beim radizieren verwechselt (k=0,...,n-1). Mein [mm] k*2\pi [/mm] bedeutet nichts anderes als die Anzahl der Umdrehungen. Deswegen auch unendlich viele Lösungen.
Danke für Eure Hilfe. Es war ein langer weg mit mir, aber ich denke ich habe es nun verstanden. ;)
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Hallo,
ich habe eine weitere Aufgabe zum genannten Thema bekommen. Dieses mal mit Lösung. Leider verstehe ich den Lösungsansatz nicht und bräuchte Eure Hilfe. Was mir hier Probleme bereitet ist nicht das ausklammern welches das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] erzeugt hat sondern warum i ersetz wurde.
AUFGABE LAUTET:
Berechnen Sie die folgende komplexe Zahl
[mm] \bruch{i*e^i^\pi}{i+e^i^\bruch{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{e^i^\bruch{\pi}{2}*e^i^\pi}{e^i^\bruch{\pi}{2}+e^i^\bruch{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^i^\pi [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Danke im Voraus.
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Hallo v6bastian,
> Hallo,
>
> ich habe eine weitere Aufgabe zum genannten Thema bekommen.
> Dieses mal mit Lösung. Leider verstehe ich den
> Lösungsansatz nicht und bräuchte Eure Hilfe. Was mir
> hier Probleme bereitet ist nicht das ausklammern welches
> das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] erzeugt hat sondern warum i ersetz wurde.
Um den Term zu vereinfachen ...
>
> AUFGABE LAUTET:
>
> Berechnen Sie die folgende komplexe Zahl
>
> [mm]\bruch{i*e^i^\pi}{i+e^i^\bruch{\pi}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^i^\bruch{\pi}{2}*e^i^\pi}{e^i^\bruch{\pi}{2}+e^i^\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Nun, es ist [mm]i=e^{\frac{\pi}{2}\cdot{}i}[/mm]
Ist dir klar, warum? [mm]e^{\frac{\pi}{2}\cdot{}i}=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+i\cdot{}1=i[/mm]
Das wurde in Zähler und Nenner ersetzt.
Im Nenner steht dann [mm]2\cdot{}e^{\frac{\pi}{2}\cdot{}i}[/mm]
Das [mm]e^{\frac{\pi}{2}\cdot{}i}[/mm] kannst du dann kürzen und ausnutzen, dass [mm]e^{\pi\cdot{}i}=-1[/mm] ist ...
Mache dir das analog zu oben klar ...
> = [mm]\bruch{1}{2}e^i^\pi[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Danke im Voraus.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 19.01.2012 | | Autor: | v6bastian |
Danke ist nun klarer.
Ich hatte gestern noch mal darüber gegrübelt und mir ist auch die Erleuchtung gekommen, dass das i in dem Bruch ein z in kartesischer Form ist, dass es gilt in Polarform umzurechnen.
Deine Ausführungen haben mir geholfen noch mehr die Quadranten zu berücksichtigen. Danke noch mal.
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Hallo noch mal.
Ich mir nicht sicher ob ich lieber einen neuen Thread aufmachen soll oder lieber hier weiter frage... Aber ich habe eine neue Aufgabe die Eurer Hilfe bedarf.
[mm] (2-i)^{-3}
[/mm]
Betrag wäre [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Argument ist [mm] \alpha [/mm] = arctan [mm] \bruch{-1}{2} +2\pi
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor?
In der Lösung ist folgendes Gegeben. Allerding komme ich nicht auf die Lösung. Die/der Winkel machen mir wegen der negativen Potenz Probleme.
[mm] z=(\wurzel 5)^{-3} [/mm] * [mm] e^{-3i*(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)} \approx [/mm] 0,016 + 0,088i
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Hallo v6bastian,
> Hallo noch mal.
>
> Ich mir nicht sicher ob ich lieber einen neuen Thread
> aufmachen soll oder lieber hier weiter frage... Aber ich
> habe eine neue Aufgabe die Eurer Hilfe bedarf.
>
> [mm](2-i)^{-3}[/mm]
>
> Betrag wäre [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Argument ist [mm]\alpha[/mm] = arctan [mm]\bruch{-1}{2} +2\pi[/mm]
>
> Wie gehe ich nun weiter vor?
>
Jetzt hast Du doch zunächst
[mm]\left( \ \wurzel{5} *e^{i*\left(arctan \bruch{-1}{2} +2\pi\right)} \ \right)^{-3}[/mm]
Wende jetzt die Potenzgesetze an.
> In der Lösung ist folgendes Gegeben. Allerding komme ich
> nicht auf die Lösung. Die/der Winkel machen mir wegen der
> negativen Potenz Probleme.
>
> [mm]z=(\wurzel 5)^{-3}[/mm] * [mm]e^{-3i*(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)} \approx[/mm]
> 0,016 + 0,088i
Gruss
MathePower
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$ [mm] \left( \ \wurzel{5} \cdot{}e^{i\cdot{}\left(arctan \bruch{-1}{2} +2\pi\right)} \ \right)^{-3} [/mm] $ wäre dann [mm] \bruch{1}{ \left( \ \wurzel{5} \cdot{}e^{i\cdot{}\left(arctan \bruch{-1}{2} +2\pi\right)} \ \right)^{3} }
[/mm]
Für [mm] z_{0} [/mm] habe ich folgende Lösung errechnet:
[mm] z{0}=\bruch{1}{(\wurzel{5})^3*e^(i*\bruch{arctan\bruch{-1}{2}+2\pi}{3})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{11,18*(cos111,15°+sin111,15°)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-4,03+10,43i}
[/mm]
Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege und verratet mir bitte wie das aus dem Nenner in den Zähler bekomme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 22.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. rechne nicht mit ungenauen Dezimalzahlen
z.B [mm] \wurzel{5}^3=5*\wurzel{5}
[/mm]
tanx=-1/2 folgt [mm] sinx=-1/\wurzel{5}, cosx=2/\wurzel{5}
[/mm]
2. einen Bruch immer mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitern: [mm] 1/z=\overline{z}/|z|^2
[/mm]
Gruss leduart
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Danke zunächst mal für die Antwort. Aber kann das sein das ich mich vertan habe? Ersten dürfte es kein [mm] z_{0} [/mm] geben und zweitens müsste das Argument doch multipliziert und nicht dividert werden, oder?
[mm] z=\bruch{1}{(\wurzel{5})^{3}*e^{i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5(\wurzel{5})*e^{i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}} [/mm] = [mm] \bruch{5(\wurzel{5})*e^{-i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}}{5(\wurzel{5})*e^{i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3} * 5(\wurzel{5})*e^{- i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}} [/mm] =
[mm] \bruch{5(\wurzel{5})*e^{-i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}}{5(\wurzel{5})} [/mm] = [mm] \bruch{1*e^{-i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)*3}}{1}
[/mm]
Ist das was ich gemacht habe bis hierher richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 23.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, du hast ne 5·wurzel{5} im nenner verschlampt, bzw weggelasseb, sonst ok
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 24.01.2012 | | Autor: | v6bastian |
Du meinst sicherlich den Betrag von z. Da liege offensichtlich falsch. Danke.
Demnach geht es so weiter:
[mm] \bruch{1*e^{-i(arctan\bruch{-1}{2}+2\pi)3}}{5\wurzel{5}}= \bruch{(cos-280,31°+sin-280,31°)}{5\wurzel{5}}\approx \bruch{0,1788881+0,98387i}{5\wurzel{5}}\approx0,016+0,088i
[/mm]
Jetzt stimmt auch das Ergebnis mit dem aus dem Skript überein.
Vielen Dank noch mal an alle, die mir mit meinen manchmal "blöden" Fragen helfen. Es ist echt toll so ein Forum zu haben in dem einen geholfen wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:45 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne folgende komplexe Zahl in die Form z=a+bi
>
> [mm]ln(-3-\wurzel{3}i)[/mm]
> In der Klausurvorbereitung Mathe I war die folgende
> Aufgabe bei der ich keinen Ansatz finde. Ich hoffe nun auf
> Euch. Danke.
>
Ansatz: [mm] $a+ib=ln(-3-\wurzel{3}i)$
[/mm]
Es folgt:
[mm] $e^a*e^{ib}= -3-\wurzel{3}i$.
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Danke Fred. Bin aber trotzdem noch nicht so ganz am Ziel... Verstehe das so
[mm] e^a\cdot{}e^{ib}= -3-\wurzel{3}i=ln(a+bi)=ln [/mm] z
Was mir gedanklich Probleme bereitet ist, dass um die Form z=a+bi zu bekommen, der Logarithmus bzw. e-Funktion auf beiden Seiten der Gleichung weg haben muss. Durch Einsetzen der e-Funktion bekomme ich die rechte Seite frei, aber dafür wird aus z --> [mm] e^z [/mm] gemacht.
Um das e zu eliminieren müsste ich doch wieder den ln (beidseitig) anwenden, oder?
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Hallo v6bastian,
> Danke Fred. Bin aber trotzdem noch nicht so ganz am Ziel...
> Verstehe das so
>
> [mm]e^a\cdot{}e^{ib}= -3-\wurzel{3}i=ln(a+bi)=ln[/mm] z
>
> Was mir gedanklich Probleme bereitet ist, dass um die Form
> z=a+bi zu bekommen, der Logarithmus bzw. e-Funktion auf
> beiden Seiten der Gleichung weg haben muss. Durch Einsetzen
> der e-Funktion bekomme ich die rechte Seite frei, aber
> dafür wird aus z --> [mm]e^z[/mm] gemacht.
>
> Um das e zu eliminieren müsste ich doch wieder den ln
> (beidseitig) anwenden, oder?
Siehe dazu diese Antwort.
Gruss
MathePower
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