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| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Mit [mm] \tau_2(n) [/mm] bezeichnen wir die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung
[mm] x_1x_2=n, (x_1,x_2)\in \IN^2.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \tau_2 [/mm] eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist.
Beweise weiter, dass für s>1 die Gleichung
[mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{\tau_2(n)}{n^s}=\zeta^2(s). [/mm] |
Hallo zusammen,
wir müssen zeigen, dass [mm] \tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m) [/mm] mit [mm] m,n\in\IN [/mm] und ggT(n,m)=1
und eine diophantische Gleichung der Form ax+by=c für [mm] a,b\in\IZ [/mm] bitzt genau dann ganzzahlige Lösungen [mm] x,y\in\IZ, [/mm] wenn [mm] c=n\cdot [/mm] ggT(a,b) bzw. ggT(a,b)|c
Nun komme ich nicht weiter bzw. weiß ich nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Di 09.07.2019 | | Autor: | meili |
Hallo questionpeter,
> Sei [mm]n\in \IN.[/mm] Mit [mm]\tau_2(n)[/mm] bezeichnen wir die Anzahl der
> Lösungen der diophantischen Gleichung
>
> [mm]x_1x_2=n, (x_1,x_2)\in \IN^2.[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\tau_2[/mm] eine multiplikative zahlentheoretische
> Funktion ist.
>
> Beweise weiter, dass für s>1 die Gleichung
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{\tau_2(n)}{n^s}=\zeta^2(s).[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> wir müssen zeigen, dass [mm]\tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m)[/mm] mit
> [mm]m,n\in\IN[/mm] und ggT(n,m)=1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und [mm] $\tau_2(1) [/mm] = 1$, dann ist [mm] $\tau_2$ [/mm] multiplikativ
Vielleicht kann man zuerst zeigen, dass [mm]\tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m)[/mm] für Primzahlen [mm]m,n\in\IN, n \not= m[/mm] gilt.
Dann über Induktion auf Produkte mit mehr Faktoren.
>
> und eine diophantische Gleichung der Form ax+by=c für
> [mm]a,b\in\IZ[/mm] bitzt genau dann ganzzahlige Lösungen [mm]x,y\in\IZ,[/mm]
> wenn [mm]c=n\cdot[/mm] ggT(a,b) bzw. ggT(a,b)|c
Da weis ich nicht, ob das was nützt.
>
> Nun komme ich nicht weiter bzw. weiß ich nicht wie ich an
> diese Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand
> weiterhelfen? Danke im Voraus!
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Teilerzahlfunktion.
Vielleicht kannst du zeigen, dass [mm] $\tau_2(n) [/mm] = d(n)$ für $ n [mm] \in \IN$
[/mm]
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 10.07.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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