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| Aufgabe | | Wir betrachten den Raum [mm] \IR^2 [/mm] zusammen mit der Funktion [mm] d_2:\IR^2x\IR^2\to\IR_\ge_0, (x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel_2, [/mm] von der Sie in diesem Aufgabenteil annehmen dürfen, dass sie eine Metrik auf [mm] \IR^2 [/mm] definiert. Zeichnen Sie die Mengen [mm] B_\bruch{1}{2}(0) [/mm] und [mm] B_\bruch{3}{2}(0) [/mm] für diejenigen der Funktionen [mm] max\{1,d_2\} [/mm] und [mm] min\{1,d_2\}, [/mm] die eine Metrik auf [mm] \IR^2 [/mm] erklären. |
Hallo,
ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie man das Zeichnen soll.
Aber wir haben die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] so definiert:
Es sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm] x_0\in [/mm] X, [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
[mm] B_\varepsilon(x_0)=\{x\in X |d(x,x_0)<\varepsilon\}
[/mm]
heißt [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um [mm] x_0.
[/mm]
Und ein Beispiel haben wir dazu auch gemacht:
(X,d) d diskrete Metrik, [mm] x_0\in [/mm] X
[mm] B_\bruch{1}{2}(x_0) [/mm] = [mm] \{x_0\} [/mm] und [mm] B_\bruch{3}{2}(x_0) [/mm] = X
Aber wie gesagt, für das Zeichnen bringt mir das leider nichts, weil ich mir darunter gar nichts vorstellen kann. Wenn mir jemand dabei helfen kann, wäre ich euch dafür sehr dankbar.
Lieben Gruß
Katti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 26.04.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Katti,
> Wir betrachten den Raum [mm]\IR^2[/mm] zusammen mit der Funktion
> [mm]d_2:\IR^2x\IR^2\to\IR_\ge_0, (x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel_2,[/mm]
> von der Sie in diesem Aufgabenteil annehmen dürfen, dass
> sie eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] definiert. Zeichnen Sie die
> Mengen [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] für
> diejenigen der Funktionen [mm]max\{1,d_2\}[/mm] und [mm]min\{1,d_2\},[/mm]
> die eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] erklären.
> Hallo,
>
> ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie man
> das Zeichnen soll.
> Aber wir haben die [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] so definiert:
> Es sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x_0\in[/mm] X, [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0.
> [mm]B_\varepsilon(x_0)=\{x\in X |d(x,x_0)<\varepsilon\}[/mm]
>
> heißt [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] um [mm]x_0.[/mm]
In dieser Aufgabe ist X [mm] $\IR^2$, [/mm] den du ausschnittsweise mit einem
kartesischen Koordinatensystem zeichnen kannst.
Für [mm] $B_{\bruch{1}{2}}(0)$ [/mm] in [mm] $(\IR^2,d_2)$ [/mm] ist das, das Innere der
Kreisscheibe mit Radius [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] um den Punkt (0|0).
Bei dieser Aufgabe sollst du erst prüfen, ob $max [mm] \{1, d_2\}$ [/mm] eine Metrik
auf [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, ebenso ob $min [mm] \{1, d_2\}$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.
Wenn es eine Metrik ist, kannst du diejenigen $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] einzeichnen,
die in [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] bzw. in [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] sind.
>
> Und ein Beispiel haben wir dazu auch gemacht:
> (X,d) d diskrete Metrik, [mm]x_0\in[/mm] X
> [mm]B_\bruch{1}{2}(x_0)[/mm] = [mm]\{x_0\}[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(x_0)[/mm] = X
>
> Aber wie gesagt, für das Zeichnen bringt mir das leider
> nichts, weil ich mir darunter gar nichts vorstellen kann.
> Wenn mir jemand dabei helfen kann, wäre ich euch dafür
> sehr dankbar.
>
> Lieben Gruß
>
> Katti
Gruß
meili
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Hallo meili,
vielen Dank für deine Hilfe!
>
> > Wir betrachten den Raum [mm]\IR^2[/mm] zusammen mit der Funktion
> > [mm]d_2:\IR^2x\IR^2\to\IR_\ge_0, (x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel_2,[/mm]
> > von der Sie in diesem Aufgabenteil annehmen dürfen, dass
> > sie eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] definiert. Zeichnen Sie die
> > Mengen [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] für
> > diejenigen der Funktionen [mm]max\{1,d_2\}[/mm] und [mm]min\{1,d_2\},[/mm]
> > die eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] erklären.
> > Hallo,
> >
> > ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie man
> > das Zeichnen soll.
> > Aber wir haben die [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] so definiert:
> > Es sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x_0\in[/mm] X, [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> > 0.
> > [mm]B_\varepsilon(x_0)=\{x\in X |d(x,x_0)<\varepsilon\}[/mm]
> >
> > heißt [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] um [mm]x_0.[/mm]
> In dieser Aufgabe ist X [mm]\IR^2[/mm], den du ausschnittsweise mit
> einem
> kartesischen Koordinatensystem zeichnen kannst.
> Für [mm]B_{\bruch{1}{2}}(0)[/mm] in [mm](\IR^2,d_2)[/mm] ist das, das
> Innere der
> Kreisscheibe mit Radius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] um den Punkt (0|0).
Ah super, danke! Jetzt habe ich wenigstens schon mal ein Bild vor Augen.
> Bei dieser Aufgabe sollst du erst prüfen, ob [mm]max \{1, d_2\}[/mm]
> eine Metrik
> auf [mm]\IR^2[/mm] ist, ebenso ob [mm]min \{1, d_2\}[/mm] eine Metrik auf
> [mm]\IR^2[/mm] ist.
> Wenn es eine Metrik ist, kannst du diejenigen [mm]x \in \IR^2[/mm]
> einzeichnen,
> die in [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] bzw. in [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] sind.
Tut mir leid, das war wohl ein Fehler von mir. Ich habe nicht die gesamte Aufgabenstellung hingeschrieben. Diese Aufgabe ist Aufgabenteil b). In Aufgabenteil a) sollte wir nämlich genau das beweisen, dass [mm] min\{1,d_2\} [/mm] und [mm] max\{1,d_2\} [/mm] Metriken sind.
Laut meinem Beweis sind auch beides Metriken.
Du hast nun gesagt, dass ich beide in meine Zeichnung einzeichnen soll. Aber ich weiß nicht, wie genau das aussehen soll. Ich habe nun das Bild vor Auge sie als einen Punkt einzuzeichnen, der auf den Kreisscheiben liegt.
Also die Metrik [mm] max\{1,d_2\} [/mm] auf [mm] B_\bruch{3}{2}(0) [/mm] und die Metrik [mm] min\{1,d_2\} [/mm] auf die Kreisscheibe [mm] B_\bruch{1}{2}(0). [/mm] Aber ich habe nicht das Gefühl, dass das richtig ist.
Lieben Gruß
Katti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mi 27.04.2016 | | Autor: | meili |
Hallo Katti,
> Hallo meili,
>
> vielen Dank für deine Hilfe!
> >
> > > Wir betrachten den Raum [mm]\IR^2[/mm] zusammen mit der Funktion
> > > [mm]d_2:\IR^2x\IR^2\to\IR_\ge_0, (x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel_2,[/mm]
> > > von der Sie in diesem Aufgabenteil annehmen dürfen, dass
> > > sie eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] definiert. Zeichnen Sie die
> > > Mengen [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] für
> > > diejenigen der Funktionen [mm]max\{1,d_2\}[/mm] und [mm]min\{1,d_2\},[/mm]
> > > die eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] erklären.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie man
> > > das Zeichnen soll.
> > > Aber wir haben die [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] so definiert:
> > > Es sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x_0\in[/mm] X,
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > >
> > > 0.
> > > [mm]B_\varepsilon(x_0)=\{x\in X |d(x,x_0)<\varepsilon\}[/mm]
>
> > >
> > > heißt [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] um [mm]x_0.[/mm]
> > In dieser Aufgabe ist X [mm]\IR^2[/mm], den du ausschnittsweise
> mit
> > einem
> > kartesischen Koordinatensystem zeichnen kannst.
> > Für [mm]B_{\bruch{1}{2}}(0)[/mm] in [mm](\IR^2,d_2)[/mm] ist das, das
> > Innere der
> > Kreisscheibe mit Radius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] um den Punkt (0|0).
>
> Ah super, danke! Jetzt habe ich wenigstens schon mal ein
> Bild vor Augen.
>
>
> > Bei dieser Aufgabe sollst du erst prüfen, ob [mm]max \{1, d_2\}[/mm]
> > eine Metrik
> > auf [mm]\IR^2[/mm] ist, ebenso ob [mm]min \{1, d_2\}[/mm] eine Metrik auf
> > [mm]\IR^2[/mm] ist.
> > Wenn es eine Metrik ist, kannst du diejenigen [mm]x \in \IR^2[/mm]
> > einzeichnen,
> > die in [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] bzw. in [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] sind.
>
> Tut mir leid, das war wohl ein Fehler von mir. Ich habe
> nicht die gesamte Aufgabenstellung hingeschrieben. Diese
> Aufgabe ist Aufgabenteil b). In Aufgabenteil a) sollte wir
> nämlich genau das beweisen, dass [mm]min\{1,d_2\}[/mm] und
> [mm]max\{1,d_2\}[/mm] Metriken sind.
> Laut meinem Beweis sind auch beides Metriken.
Bei [mm]max\{1,d_2\}[/mm] ist [mm] $d\left(x,y\right) [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = y$ nicht erfüllt.
Vergl. ![[]](/images/popup.gif) Metrischer Raum.
Aber vielleicht setzt ihr diese Bedingung nicht voraus.
> Du hast nun gesagt, dass ich beide in meine Zeichnung
> einzeichnen soll. Aber ich weiß nicht, wie genau das
> aussehen soll. Ich habe nun das Bild vor Auge sie als einen
> Punkt einzuzeichnen, der auf den Kreisscheiben liegt.
> Also die Metrik [mm]max\{1,d_2\}[/mm] auf [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] und die
> Metrik [mm]min\{1,d_2\}[/mm] auf die Kreisscheibe [mm]B_\bruch{1}{2}(0).[/mm]
> Aber ich habe nicht das Gefühl, dass das richtig ist.
Insgesamt gäbe es 4 Zeichnungen. 2 Umgebungen bezüglich jeder Metrik.
Für [mm]max\{1,d_2\}[/mm] [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm]: gibt es $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $d(x,0) < [mm] \bruch{1}{2}$?
[/mm]
Für [mm]min\{1,d_2\}[/mm] [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm]: gibt es $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $d(x,0) < [mm] \bruch{1}{2}$? [/mm]
Für [mm]max\{1,d_2\}[/mm] [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm]: gibt es $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $d(x,0) < [mm] \bruch{3}{2}$?
[/mm]
Für [mm]min\{1,d_2\}[/mm] [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm]: gibt es $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $d(x,0) < [mm] \bruch{3}{2}$?
[/mm]
(d jeweils die entsprechende Metrik)
>
> Lieben Gruß
>
> Katti
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den Raum [mm]\IR^2[/mm] zusammen mit der Funktion
> [mm]d_2:\IR^2x\IR^2\to\IR_\ge_0, (x,y)\mapsto\parallel x-y\parallel_2,[/mm]
> von der Sie in diesem Aufgabenteil annehmen dürfen, dass
> sie eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] definiert. Zeichnen Sie die
> Mengen [mm]B_\bruch{1}{2}(0)[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(0)[/mm] für
> diejenigen der Funktionen [mm]max\{1,d_2\}[/mm] und [mm]min\{1,d_2\},[/mm]
> die eine Metrik auf [mm]\IR^2[/mm] erklären.
> Hallo,
>
> ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie man
> das Zeichnen soll.
> Aber wir haben die [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] so definiert:
> Es sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x_0\in[/mm] X, [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0.
> [mm]B_\varepsilon(x_0)=\{x\in X |d(x,x_0)<\varepsilon\}[/mm]
>
> heißt [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] um [mm]x_0.[/mm]
>
> Und ein Beispiel haben wir dazu auch gemacht:
> (X,d) d diskrete Metrik, [mm]x_0\in[/mm] X
> [mm]B_\bruch{1}{2}(x_0)[/mm] = [mm]\{x_0\}[/mm] und [mm]B_\bruch{3}{2}(x_0)[/mm] = X
>
> Aber wie gesagt, für das Zeichnen bringt mir das leider
> nichts, weil ich mir darunter gar nichts vorstellen kann.
> Wenn mir jemand dabei helfen kann, wäre ich euch dafür
> sehr dankbar.
>
> Lieben Gruß
>
> Katti
Oben steht:
(*) " ..... für diejenigen der Funktionen $ [mm] max\{1,d_2\} [/mm] $ und $ [mm] min\{1,d_2\}, [/mm] $ die eine Metrik auf $ [mm] \IR^2 [/mm] $ erklären. "
Schauen wir uns $ [mm] max\{1,d_2\} [/mm] $ an, so sehen wir, und das hat meilli schon gesagt: $ [mm] max\{1,d_2\} [/mm] $ def. keine Metrik auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Dagegen liefert $ [mm] min\{1,d_2\}$ [/mm] eine Metrik auf [mm] \IR^2. [/mm] Hast Du das gezeigt ?
Wenn ich nun obiges Zitat in (*) richtig interpretiere, so wird von Dir nur folgendes verlangt ( weil Du $ [mm] max\{1,d_2\}$ [/mm] vergessen kannst):
Setze [mm] d(x,y):=\min\{1,d_2(x,y)\} [/mm] für x,y [mm] \in \IR^2 [/mm] und zeichne die Mengen
[mm] M_1:= \{x \in \IR^2: d(x,0)<\bruch{1}{2}\}
[/mm]
und
[mm] M_2:=\{x \in \IR^2: d(x,0)<\bruch{3}{2}\}.
[/mm]
Zur Kontrolle:
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \{x \in \IR^2: d_2(x,0)<\bruch{1}{2}\} [/mm] und [mm] M_2 [/mm] = [mm] \IR^2.
[/mm]
zeige dies !!
FRED
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Hallo,
doch wir haben die Bedingung d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y vorrausgesetzt. Dann habe ich wohl einen Fehler in meinem Beweis.
Es wäre sehr nett, wenn ihr da mal drüber gucken könntet:
d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] max(1,d(x,y)) = 0 [mm] \gdw [/mm] d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x =y
Also wenn ich das jetzt richtig von fred verstanden habe, brauche ich für [mm] max(1,d_2) [/mm] keine Umgebung zeichnen, da max keine Metrik ist.
Lieben Gruß und noch mals vielen Dank
Katti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Do 28.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
denkst du wirklich max(1,0)=0??? du machst zu schnell einfach Doppelpfeile, ohne sie zu begründen.
aber du solltest auch einsehen warum max keine Metrik ist!
Gruß leduart
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