zeige differenzierbar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | zeige: 1) f(x) = ax+b 2) f(x) = [mm] x^k [/mm] sind differenzierbar |
hallo!
wie zeige ich, dass das differenzierbar ist? ableiten ist ja kein problem aber der beweis dafür gibt mir noch rätsel auf!
vielen dank! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Di 30.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du must den Differenzenquotienten bilden und den Grenzwert ausrechnen, existiert er weisst Du das die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, also
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\br{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] und dann die entsprechenden Definitionen für f(x) einsetzen.
Alternativ geht auch [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\br{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
[/mm]
|
|
|
| |
|
hallo ullim
könntest du mir vielleicht sagen, wie die beweisführung ganz genau von der 2, frage lautet oder irgendjemand anderes.
bitte bitte ist ganz ganz wichtig
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also du möchtest den Differentialquotienten für f(x)=x^k sehen, richtig? ^^
$\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} {\bruch{x^k-x_0^k}{x-x_0}$
Hier schließt nun eine Polynomdivision an, die nicht ganz einfach ist:
$(x^k-x_0^k):(x-x_0)=x^{k-1}+x_0*x^{k-2}+x_0^2*x^{k-3}+...+x_0^{k-1}*x^{\underbrace{k-k}_{=1}}$
Also rechne dir das mal selber vor. Es beginnt mit x^{k-1}, da dies mit x multipliziert x^k gibt. Wir müssen aber das ganze auch mit (-x_0) multiplizieren, wodurch ein x_0*x^{k-1} entsteht, das wir im nächsten Schritt der Polynomdivision mit x_0*x^{k-2} wegbekommen, da dies mit x multipliziert eben x_0*x^{k-1} ergibt.
Das heißt, x verliert immer eine natürliche Zahl mehr von k. Wie lange kann das gehen? Nun, solange, bis x^{k-k} erreicht ist, denn dann ist x^0=1. Gleichzeitig steigt aber bei jedem Polynomdivisionschritt x_0 um eine natürliche Zahl an. Allerdings haben wir bei x^{k-2}*x_0 die Potenz 1. Wenn wir also beim letzten Schritt x^{k-k} angelangt sind, so ist x_0 erst 1 Zahl vor k angelangt, daher kommt x_0^{k-1}.
Demzufolge, um am Ende auch das x_0^k der Ausgangsgleichung zu eliminieren, muss die letzte Polynomdivision x_0^{k-1}*x^{k-k} lauten, denn multiplizieren wir das mit (x-x_0), so erhält man: x_0^{k-1}*x-x_0^k und damit haben wir den letzten Schritt vollzogen und es bleibt 0 übrig.
$\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{x^k-x_0^k}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} x^{k-1}+x_0*x^{k-2}+...+x_0^{k-1}*x^0$
Jetzt vollziehen wir den Grenzübergang:
$\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{x^k-x_0^k}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} x^{k-1}+x_0*x^{k-2}+...+x_0^{k-1}*x^0=x_0^{k-1}+x_0^{k-1}+...+x_0^{k-1}*1$
Alles wird zu x_0^{k-1}. Die Frage ist nur, wie viele einzelne Summanden haben wir hier?
Nun, dies sind genau k Summanden! Wieso? Wir haben bei (k-1) als Potenz für x gestartet und sind bis x^{k-k}, also bis k gegangen.
$\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{x^k-x_0^k}{x-x_0}=x^{k-1}+x_0*x^{k-2}+...+x_0^{k-1}*x^0=x_0^{k-1}+x_0^{k-1}+...+x_0^{k-1}*1 =k*x_0^{k-1}$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 04.12.2010 | | Autor: | schnee104 |
vielen vielen dank du hast mir wirklich sehr geholfen
vielen vielen dank noch einmal.
|
|
|
|
