zeitabhängige Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Do 18.10.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Hallo
ich tue mich wirklich sehr schwer mit folgenden Differtentialgleichungen
r'' - [mm] r\phi'^{2} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{r^{2}} [/mm] =0
[mm] 2r'\phi'+r\phi''=0
[/mm]
(der strich soll eigentlich ein Punkt über dem Zeichen sein, weiß aber nicht wie das hier geht!!) |
wie kann ich Differentialgleichungen lösen, wenn zwei zeitabhängige Variablen darin vorkommen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 19.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Zunächst einmal: der Punkt geht so: \dot{\phi}: [mm] $\dot{\phi}$, [/mm] die zweite Ableitung ist \ddot{\phi}: [mm] $\ddot{\phi}$.
[/mm]
> ich tue mich wirklich sehr schwer mit folgenden
> Differtentialgleichungen
>
> [mm]r'' - r\phi'^{2} + \bruch{\alpha}{r^{2}} =0[/mm]
> [mm]2r'\phi'+r\phi''=0[/mm]
> wie kann ich Differentialgleichungen lösen, wenn zwei
> zeitabhängige Variablen darin vorkommen??
Häufig kannst du das tun wie bei Gleichungssystemen: nach einer der Variablen auflösen und in die andere(n) Gleichung(en) einsetzen. Hier wäre es z.B. möglich die erste DGL nach [mm] $\dot{\phi}$ [/mm] aufzulösen und das in die zweite einzusetzen. Ich hab's nicht komplett durchgerechnet, im Prinzip scheint das zu funktionieren.
Manchmal kann man aber durch geschickte Umformung weiterkommen. Die zweite DGL kannst du umformen:
[mm] 2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot\phi = \dot{r}\dot{\phi} +(\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot\phi) = \dot{r}\dot{\phi} + \bruch{d}{dt}(r\dot{\phi)[/mm] .
Wenn ich hier die neue Variable [mm] $u=r\dot{\phi}$ [/mm] einführe, dann ist
[mm] \dot{\phi}= \bruch{u}{r} [/mm],
und die DGL lautet nun
[mm] \dot{r}\bruch{u}{r} + \dot{u} =0 [/mm] .
Multiplikation mit r liefert
[mm] \dot{r}\bruch{u} +r \dot{u} =0 \gdw \bruch{d}{dt} (ur) = 0 [/mm] .
Oder: [mm] $r^2\dot{\phi} [/mm] = C$.
OK, dasselbe Ergebnis bekommst du auch, indem die deine zweite DGL mit gleich mit r malnimmst:
[mm] 2r\dot{r}\dot{\phi} + r^2\ddot{\phi} = \bruch{d}{dt}(r^2\dot\phi) = 0 [/mm],
aber der Trick mit der neuen Variablen u hilft dir, diese Umformung zu finden.
Ganz nebenbei, die DGLen beschreiben eine ebene Bewegung im $1/r$-Zentralpotential, und das Ergebnis [mm] $r^2\dot{\phi} [/mm] = C$ ist die Konstanz des Drehimpulses.
Ich denke, den Rest bekommst du allein hin.
Viele Grüße
Rainer
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