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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:43 Di 09.09.2014 | | Autor: | welt |
Hallo,
ich habe heute das Thema zentraler Grenzwertsatz abgeschlossen, bin mir aber ein einigen stellen noch nicht ganz sicher
Also seien [mm] $(X_k)_k$ [/mm] iid Zufallsvariablen [mm] E[X1]:=$\mu$ Var(Xn):=$\sigma^2$
[/mm]
[mm] $X_n:=\sum X_i$
[/mm]
[mm] $Z_n:=\frac{X_n-n*\mu}{\sqrt(n)*\sigma^2}$
[/mm]
[mm] $\phi_k$ [/mm] sei die charakteristische FUnktion von Xk
dann gilt [mm] $\phi_{Zn}(t) \to exp(-t^2/2)$ [/mm] für alle t
gemäß dem Stetigkeitssatz von Levy existiert dann ein maß [mm] $\nu$ [/mm] sodass exp(-t²/2) die charakteristische Funktion von [mm] $\nu$ [/mm] ist.
woher weiß ich denn nun genau, dass [mm] $\nu$ [/mm] standardnormalverteilt ist?
wie kann ich denn von der charakteristischen FUnktion auf die Verteilung schliessen?
edit: hier habe ich eine Idee, wenn ich sagen kann das zu [mm] $\nu$ [/mm] ein W Raum und eine Zufallsvariable Y existiert, sodass [mm] $\nu=P [/mm] ( [mm] Y^{-1})$ [/mm] dann folgt ja [mm] $\phi_Y [/mm] = [mm] \phi_{\nu}$ [/mm] und damit wäre X standardnormalverteilt (haben wir schon gezeigt) und damit wäre dann auch [mm] $\nu$ [/mm] standardnormalverteilt, bleibt die Frage ob es so ein Y gibt
außerdem folgt noch, dass [mm] $\mu_n \to \nu$
[/mm]
(mü sind die Verteilungen der Xk)
hier habe ich noch eine kleine Frage, es gilt ja
EIne Folge von Zufallsvariablen konvergiert genau dann wenn die charakteristischen Funktionen konvergieren.
Kann ich mir zu [mm] $\nu$ [/mm] eine Zufallsvariable basteln, gegen die Zn dann konvergiert?
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 11.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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