zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass im zentralen Grenzwertsatz die Voraussetzung der Unabhängigkeit wesentlich ist. |
Hallo ihr,
also die Grundidee ist mir klar. Ich muss mir eine Zufallsvariable X nehmen und davon [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] abhängige Kopien machen und dann zeigen, dass der zentrale Grenzwertsatz nicht gillt, dass heißt, das [mm] \bruch{X_{1}+...+X_{n}-n*E(X)}{\wurzel{n}*\partial(X)} [/mm] nicht gegen die Standart-Normalverteilung konvergiert. [mm] (\partial(X) [/mm] ist hier die Varianz von X)
Aber ich kann mir leider überhaupt nicht vorstellen, wie ich jetzt praktisch abhängige Kopien einer Zufallsvariablen machen soll. Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank schon mal, Nora.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Fry |
Hi Nora,
du kannst dafür Zufallsvariablen wählen, die alle identisch sind [mm] (X_1=X_2=...=X_n) [/mm] (und damit nicht unabhängig sind) und folgende Verteilung haben:
[mm] P(X_1=1)=\frac{1}{2}=P(X_1=-1)
[/mm]
Dann gilt für die standardisierte Summe:
[mm] $P(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n*EX_1}{\sqrt{n*Var X_1}}\le x)=P(\sqrt{n}*X_1\le [/mm] x)$
Ferner:
[mm] P(X_1\le \frac{x}{\sqrt{n}})= [/mm] 0 bzw [mm] \frac{1}{2} [/mm] bzw 1 für die Fälle [mm] \frac{X_1}{\sqrt{n}}< [/mm] -1 bzw [mm] \frac{X_1}{\sqrt{n}}\in [/mm] [-1,1] bzw [mm] \frac{X_1}{\sqrt{n}}>1
[/mm]
Für n gegen unendlich folgt die Behauptung, dass es die standardisierte Summe nicht gegen Normalverteilung in Verteilung konvergiert, da Grenzfunktion gerade konstant gleich [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist.
LG
Christian
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