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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 28.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | In a ring [mm]A[/mm], let [mm]\Sigma[/mm] be the set of all ideals in which every element is a zero-divisor. Show that [mm]\Sigma[/mm] has maximal elements and that every maximal element of [mm]\Sigma[/mm] is a prime ideal. Conclude that the set of zero-divisors in [mm]A[/mm] is a union of prime-ideals |
Hallo Leute
Das ist ne Aufgabe aus ner Vorlesung in Commutativer Algebra. Ich bin leider noch nicht auf eine vollständige Lösung gekommen...
Ich wollte das folgendermassen gliedern:
- Alle Elemente aus [mm]\Sigma[/mm] sind in einem max. Element enthalten.
Das folgt aus Zorns Lemma. Ich weiss nur nicht ganz, ob ich das hier richtig anwende. Denn für ein [mm]\mathfrak{a} \in \Sigma[/mm] folgt aus dem Lemma, dass [mm]\mathfrak{a} \subset \mathfrak{m} \subset A[/mm]. Aber dieses [mm]\mathfrak{m}[/mm] muss nicht notwendigerweise in [mm]\Sigma[/mm] sein, nicht?
- Alle max. Elemente aus [mm]\Sigma[/mm] sind prim.
Nehme also [mm]\mathfrak{a}\in \Sigma[/mm] maximal. Für [mm]x\cdot y \in \mathfrak{a}[/mm] gilt es zu zeigen, dass [mm]x \in \mathfrak{a}[/mm] oder [mm]y \in \mathfrak{a}[/mm]
Jetzt dachte ich, ich schaue die Ideale an: [mm](x)+\mathfrak{a}, (y)+\mathfrak{a}[/mm].
Irgendwie muss ich dann auch benutzen, dass für [mm]x\cdot y[/mm] ein nullteiler, dann folgt, dass x oder y jeweils ein Nullteiler sind..
Kann mir jemand sagen, wie ich hier weiter komme?
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 28.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In a ring [mm]A[/mm], let [mm]\Sigma[/mm] be the set of all ideals in which
> every element is a zero-divisor. Show that [mm]\Sigma[/mm] has
> maximal elements and that every maximal element of [mm]\Sigma[/mm]
> is a prime ideal. Conclude that the set of zero-divisors in
> [mm]A[/mm] is a union of prime-ideals
>
> Hallo Leute
>
> Das ist ne Aufgabe aus ner Vorlesung in Commutativer
> Algebra. Ich bin leider noch nicht auf eine vollständige
> Lösung gekommen...
>
> Ich wollte das folgendermassen gliedern:
>
> - Alle Elemente aus [mm]\Sigma[/mm] sind in einem max. Element
> enthalten.
> Das folgt aus Zorns Lemma. Ich weiss nur nicht ganz, ob
> ich das hier richtig anwende. Denn für ein [mm]\mathfrak{a} \in \Sigma[/mm]
> folgt aus dem Lemma, dass [mm]\mathfrak{a} \subset \mathfrak{m} \subset A[/mm].
> Aber dieses [mm]\mathfrak{m}[/mm] muss nicht notwendigerweise in
> [mm]\Sigma[/mm] sein, nicht?
Du musst die Voraussetzungen von Zorns Lemma zeigen. Daraus folgt dann: jedes Element in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegt in einem maximalen Element aus [mm] $\Sigma$.
[/mm]
> - Alle max. Elemente aus [mm]\Sigma[/mm] sind prim.
> Nehme also [mm]\mathfrak{a}\in \Sigma[/mm] maximal. Für [mm]x\cdot y \in \mathfrak{a}[/mm]
> gilt es zu zeigen, dass [mm]x \in \mathfrak{a}[/mm] oder [mm]y \in \mathfrak{a}[/mm]
>
> Jetzt dachte ich, ich schaue die Ideale an:
> [mm](x)+\mathfrak{a}, (y)+\mathfrak{a}[/mm].
>
> Irgendwie muss ich dann auch benutzen, dass für [mm]x\cdot y[/mm]
> ein nullteiler, dann folgt, dass x oder y jeweils ein
> Nullteiler sind..
Das Produkt zweier Nichtnullteiler ist ein Nichtnullteiler.
Damit ist mindestens eins von $x$ und $y$ ein Nullteiler, sagen wir mal $x$. Du solltest jetzt versuchen zu zeigen, dass jedes Element in $(x) + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] ein Nullteiler ist: daraus folgt $(x) + [mm] \mathfrak{a} \in \Sigma$ [/mm] und somit $x [mm] \in \mathfrak{a}$.
[/mm]
Aber du brauchst das gar nicht so direkt zu machen. Kennst du folgende Aussage?
"Ist $S [mm] \subseteq [/mm] R$ eine multiplikative Menge und ist [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ein Ideal maximal unter der Bedingung, dass [mm] $\mathfrak{a} \cap [/mm] S = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, so ist [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] ein Primideal."
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Di 28.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix!
> Du musst die Voraussetzungen von Zorns Lemma zeigen. Daraus
> folgt dann: jedes Element in [mm]\Sigma[/mm] liegt in einem
> maximalen Element aus [mm]\Sigma[/mm].
>
Gut, dann versuch ich das dann mal.. sonst komme ich darauf zurück.
> > - Alle max. Elemente aus [mm]\Sigma[/mm] sind prim.
> > Nehme also [mm]\mathfrak{a}\in \Sigma[/mm] maximal. Für [mm]x\cdot y \in \mathfrak{a}[/mm]
> > gilt es zu zeigen, dass [mm]x \in \mathfrak{a}[/mm] oder [mm]y \in \mathfrak{a}[/mm]
>
> >
> > Jetzt dachte ich, ich schaue die Ideale an:
> > [mm](x)+\mathfrak{a}, (y)+\mathfrak{a}[/mm].
> >
> > Irgendwie muss ich dann auch benutzen, dass für [mm]x\cdot y[/mm]
> > ein nullteiler, dann folgt, dass x oder y jeweils ein
> > Nullteiler sind..
>
> Das Produkt zweier Nichtnullteiler ist ein
> Nichtnullteiler.
>
> Damit ist mindestens eins von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] ein Nullteiler, sagen
> wir mal [mm]x[/mm]. Du solltest jetzt versuchen zu zeigen, dass
> jedes Element in [mm](x) + \mathfrak{a}[/mm] ein Nullteiler ist:
> daraus folgt [mm](x) + \mathfrak{a} \in \Sigma[/mm] und somit [mm]x \in \mathfrak{a}[/mm].
Ja genau, das wollte ich zeigen.. muss noch überlegen, hatte bisher nicht den erwünschten Erfolg :)
>
> Aber du brauchst das gar nicht so direkt zu machen. Kennst
> du folgende Aussage?
>
> "Ist [mm]S \subseteq R[/mm] eine multiplikative Menge und ist
> [mm]\mathfrak{a}[/mm] ein Ideal maximal unter der Bedingung, dass
> [mm]\mathfrak{a} \cap S = \emptyset[/mm] ist, so ist [mm]\mathfrak{a}[/mm]
> ein Primideal."
Kenn ich so nicht.. D.h. es wäre hier S = [mm] $A\backslash \Sigma$ [/mm] und somit alle maximalen Elemente in [mm] $\Sigma$ [/mm] sind dan Prim..
Das verwundert mich jetzt recht.. :D muss mir dazu noch Gedanken machen..
Auf jeden fall, vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 28.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Jetzt dachte ich, ich schaue die Ideale an:
> > > [mm](x)+\mathfrak{a}, (y)+\mathfrak{a}[/mm].
> > >
> > > Irgendwie muss ich dann auch benutzen, dass für [mm]x\cdot y[/mm]
> > > ein nullteiler, dann folgt, dass x oder y jeweils ein
> > > Nullteiler sind..
> >
> > Das Produkt zweier Nichtnullteiler ist ein
> > Nichtnullteiler.
> >
> > Damit ist mindestens eins von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] ein Nullteiler, sagen
> > wir mal [mm]x[/mm]. Du solltest jetzt versuchen zu zeigen, dass
> > jedes Element in [mm](x) + \mathfrak{a}[/mm] ein Nullteiler ist:
> > daraus folgt [mm](x) + \mathfrak{a} \in \Sigma[/mm] und somit [mm]x \in \mathfrak{a}[/mm].
>
> Ja genau, das wollte ich zeigen.. muss noch überlegen,
> hatte bisher nicht den erwünschten Erfolg :)
Es ist einfacher, es per Widerspruch zu zeigen: angenommen, weder $x$ noch $y$ liegt in [mm] $\mathfrak{a}$. [/mm] Dann sind $(x) + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] und $(y) + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] keine Elemente aus [mm] $\Sigma$, [/mm] womit es Nichtnullteiler $b [mm] \in [/mm] (x) + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] und $c [mm] \in [/mm] (y) + [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] gibt. Diese kannst du nun explizit beschreiben (mit $x$ bzw. $y$ und [mm] $\mathfrak{a}$) [/mm] und damit zeigen, dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] bereits nicht in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegt.
> > Aber du brauchst das gar nicht so direkt zu machen. Kennst
> > du folgende Aussage?
> >
> > "Ist [mm]S \subseteq R[/mm] eine multiplikative Menge und ist
> > [mm]\mathfrak{a}[/mm] ein Ideal maximal unter der Bedingung, dass
> > [mm]\mathfrak{a} \cap S = \emptyset[/mm] ist, so ist [mm]\mathfrak{a}[/mm]
> > ein Primideal."
>
> Kenn ich so nicht.. D.h. es wäre hier S = [mm]A\backslash \Sigma[/mm]
Nein, hier ist $S = [mm] \{ a \in R \mid a \text{ Nichtnullteiler } \}$. [/mm] Denn [mm] $\Sigma$ [/mm] ist eine Menge von Idealen, nicht von Elementen in $A$.
> und somit alle maximalen Elemente in [mm]\Sigma[/mm] sind dan Prim..
> Das verwundert mich jetzt recht.. :D muss mir dazu noch
> Gedanken machen..
Nun, das ist genau das was du in dieser Aufgabe zeigen sollst, ohne dieses Resultat zu verwenden 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
Habs jetzt heute hingekriegt.. :) Danke für die ausgezeichnete Hilfe (das soll wieder Mal betont werden.. ;) )
Grüsse, Amaro
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