zeta Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] \zeta(2)<2. [/mm] Benutzen Sie dabei, dass gilt: [mm] n^2\geq \frac{n(n+1)}{2}. [/mm] |
Hallo,
ich habe etwas rumgeforscht und rausbekommen, dass gilt: [mm] \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}. [/mm] Allerdings ist der Beweis dafür recht kompliziert und hier sicherlich nicht gefordert.
Ich weiß also, dass [mm] \zeta(2) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}.
[/mm]
Wenn ich da jetzt sofort den Hinweis mit dem [mm] n^2\geq... [/mm] draufhaue, folgt:
[mm] \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}
[/mm]
Ab da komme ich nun nicht mehr weiter. Muss ich irgendwie mit Dirichlet-Reihen argumentieren?
Da ja die zeta Funktion eine spezielle Dirichlet-Reihe ist, weiß ich ja auf jeden Fall, dass für s>1 (hier s=2) die Reihe absolut konvergent ist.
Muss ich nur noch zeigen, dass 2 eine obere Schranke ist...
Gruß Sleeper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:19 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Peter_Pein |
> Wenn ich da jetzt sofort den Hinweis mit dem [mm]n^2\geq...[/mm]
> draufhaue, wird meine Reihe ja eigtl. größer.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie war das mit den Kehrwerten bei Ungleichheitsrelationen doch gleich?
Hoffentlich hilft's,
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Mo 14.12.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Ja du hast recht, ich hab nicht richtig aufgepasst. Habs nun im Originaltext verbessert.
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Dann mache ich mit den zwei Stichwörtern "Partialbruchzerlegung" und "Teleskopsumme" mal 'ne Antwort draus 
Viel Spaß beim Tüfteln (ist aber nicht schwer...),
Peter
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> Dann mache ich mit den zwei Stichwörtern
> "Partialbruchzerlegung" und "Teleskopsumme" mal 'ne Antwort
> draus
>
> Viel Spaß beim Tüfteln (ist aber nicht schwer...),
> Peter
Stimmt so gehts recht schnell, allerdings bleibt eine kleine Ungereimtheit:
Der Summenterm ist dann: [mm] 2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right)=2.
[/mm]
Und gegeben war: [mm] n^2\geq \frac{n}{n+1}.
[/mm]
Daraus folgt ja [mm] \frac{1}{n^2}\leq \frac{2}{n(n+1)}. [/mm]
Das Problem was sich dann ergibt, dass das alles bei mir nur liefert:
[mm] \zeta(2)\leq [/mm] 2 aber nicht echt kleiner (<).
Hab ich da iwas übersehen?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
