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1 Es sei G<(1,3,4,2,5,7)>.Bestimme alle Untergruppen von G und deren Ordnung.
Musterlösung:1, G,<(7,2,3)(5,4,1)>,<(7,4)(5,3)(2,1)>
meine Frage:
1 Gibt's überhaupt eine Regel mit der man die Untergruppe einer bestimmten Gruppe finden kann?
2 Warum sind z.B <(1,3,4,2)(5,7)>nicht Untergruppe der gegebenen Gruppe?
3 Erfüllt z.B <(7,2,3)(5,4,1)> die 3 Konditionen einer Untergruppe:
1)Einheitselement 2)Inverse 3)Abgeschlossenheit der Multiplikation
Warum ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 09.12.2004 | | Autor: | Hexe |
So um diese Frage zu verstehen muss man sich erst mal G aufschreiben
[mm] G==\{a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6\}=\{(134257),(145)(327),(12)(35)(47),(154)(237),(175243),id\} [/mm] Untergruppen erhält man nun, wenn man Erzeugnisse von Elementen von G nimmt, solange man nicht ganz G wie zum Beispiel bei <(175243)> erhält hat man eine echte Untergruppe.
das beantwortet deine Zweite Frage: (1342)(57) liegt gar nicht in G!
Zur dritten Frage:
[mm] =<(154)(237)>=\{(154)(237),(145)(327),id\} [/mm]
Es hat das einselement mit [mm] b^3, [/mm] ein Inverses daraus folgend mit [mm] b^2 [/mm] und ist als Erzeugnis natürlich abgeschlossen. Ausserdem ist es nicht G und damit echte Untergruppe
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