zu zeigen Ellipsengleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Sa 08.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
| Aufgabe | Eine Ellipse ist geometrisch durch die Lage aller Punkte in der Ebene [mm] \IR^{2} [/mm] definiert, deren euklidischer Abstand von einem Punkt F genau dase-fache ihres Normalabstandes von einer gegebenen Geraden d (der Direktix der Ellipse) ist.
Anhand dieser Definition bin ich auf folgende Gleichung gekommen:
[mm] \wurzel{(x-a*e)^{2}+y^2}=e*(\bruch{a}{e}-x)
[/mm]
diese gilt es nun mittels [mm] e^{2}=a^{2}-b^{2} [/mm] in die Form [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1 [/mm] zu bringen.
e... ist die lineare Exzentrizität
a,b ..die große und kleine Halbachse |
Leider verrechne ich mich ständig und am Schluss kommt irgendein wirrer Quatsch raus mit dem ich mich nicht mehr zurecht finde.
Also ich hab bis jetzt immer so angefangen das ich den Ausdruck unter der Wurzel, und die linke Seite ausgerechnet habe dann quadriert und dann umgeformt und [mm] e^{2} [/mm] substituieent. Ohne Erfolg.
Bitter erlöst mich von den Qualen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo andi1983,
> Eine Ellipse ist geometrisch durch die Lage aller Punkte in
> der Ebene [mm]\IR^{2}[/mm] definiert, deren euklidischer Abstand von
> einem Punkt F genau dase-fache ihres Normalabstandes von
> einer gegebenen Geraden d (der Direktix der Ellipse) ist.
> Anhand dieser Definition bin ich auf folgende Gleichung
> gekommen:
> [mm]\wurzel{(x-a*e)^{2}+y^2}=e*(\bruch{a}{e}-x)[/mm]
> diese gilt es nun mittels [mm]e^{2}=a^{2}-b^{2}[/mm] in die Form
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1[/mm] zu bringen.
> e... ist die lineare Exzentrizität
> a,b ..die große und kleine Halbachse
> Leider verrechne ich mich ständig und am Schluss kommt
> irgendein wirrer Quatsch raus mit dem ich mich nicht mehr
> zurecht finde.
> Also ich hab bis jetzt immer so angefangen das ich den
> Ausdruck unter der Wurzel, und die linke Seite ausgerechnet
> habe dann quadriert und dann umgeformt und [mm]e^{2}[/mm]
> substituieent. Ohne Erfolg.
>
> Bitter erlöst mich von den Qualen!
Mit der linearen Exzentrizität e komme ich nicht auf die gesuchte Gleichung.
Muß da statt der linearen Exzentrizität e nicht die numerische Exzentrizität [mm]\varepsilon[/mm] stehen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 So 09.11.2008 | | Autor: | andi1983 |
| Aufgabe | Ich werde einfach mal die gesamte Angabe einstellen:
Eine Ellipse ist geometrisch durch die Lage aller Punkte in der Ebene $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ definiert, deren euklidischer Abstand von einem Punkt F genau das e-fache ihres Normalabstandes von einer gegebenen Geraden d (der Direktix der Ellipse) ist. Damit dabei eine Ellipse rauskommt, muss 0<e<1 gelten. Nehmen sie an, dass der Punkt F die Koordinaten [mm] F=\vektor{a*e \\ 0} [/mm] hat und dass die Gerade d parallel zur y-Achse ist und durch den Punkt [mm] \vektor{\bruch{a}{e} \\ 0} [/mm] geht. Hier ist a>0 eine beliebige pos. Zahl. Der Parameter e heißt Exzentrizität der Ellipse. Zeigen Sie dass die Punkte [mm] \vektor{x \\ y}\in\IR^{2}, [/mm] die auf der Ellipse liegen eine Gleichung der form: $ [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1 [/mm] $ erfüllen. Bestimmen sie b. Verwenden sie diese Ellipsengleichung um eine Parametrisierung der Ellipse in der Form [mm] t\mapsto(x(t),y(z)) [/mm] zu finden. |
Ich hoff ich hab mich nicht schon bei der GL vertan...
Kommen Sie mit der numerischen Exzentrizität auf das Ergebnis?
Danke schon mal.
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Hallo andi1983,
> Ich werde einfach mal die gesamte Angabe einstellen:
>
> Eine Ellipse ist geometrisch durch die Lage aller Punkte in
> der Ebene [mm]\IR^{2}[/mm] definiert, deren euklidischer Abstand von
> einem Punkt F genau das e-fache ihres Normalabstandes von
> einer gegebenen Geraden d (der Direktix der Ellipse) ist.
> Damit dabei eine Ellipse rauskommt, muss 0<e<1 gelten.
> Nehmen sie an, dass der Punkt F die Koordinaten
> [mm]F=\vektor{a*e \\ 0}[/mm] hat und dass die Gerade d parallel zur
> y-Achse ist und durch den Punkt [mm]\vektor{\bruch{a}{e} \\ 0}[/mm]
> geht. Hier ist a>0 eine beliebige pos. Zahl. Der Parameter
> e heißt Exzentrizität der Ellipse. Zeigen Sie dass die
> Punkte [mm]\vektor{x \\ y}\in\IR^{2},[/mm] die auf der Ellipse
> liegen eine Gleichung der form:
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1[/mm] erfüllen.
> Bestimmen sie b. Verwenden sie diese Ellipsengleichung um
> eine Parametrisierung der Ellipse in der Form
> [mm]t\mapsto(x(t),y(z))[/mm] zu finden.
> Ich hoff ich hab mich nicht schon bei der GL vertan...
Die Gleichung, die da aufgestellt worden ist, stimmt.
>
> Kommen Sie mit der numerischen Exzentrizität auf das
> Ergebnis?
Mit der numerischen Exzentrizität komme ich auf das geforderte Ergebnis.
>
> Danke schon mal.
Gruß
MathePower
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