zusammenziehbar, wegzsh. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Raum $X$ heißt zusammenziehbar, falls er homotop zu einem Ein-Punkt-Raum ist.
Zeigen Sie, dass jeder zusammenziehbare Raum wegzusammenhängend ist. |
Hallo,
ich möchte diese Aussage beweisen und bin wie folgt vorgegangen:
Damit ein Raum $X$ wegzusammenhängend ist, muss für alle $x, [mm] x'\in [/mm] X$ ein Weg $w$ in $X$ existieren, mit $w(0)=x'$ und $w(1)=x$.
Da [mm] $X\sim\{x_0\}$, [/mm] gibt es stetige Abbildungen $f, g$ mit [mm] $f:X\to\{x_0\}$ [/mm] und [mm] $g:\{x_0\}\to [/mm] X$ so, dass [mm] $f\circ g\sim id_{\{x_0\}}$ [/mm] und [mm] $g\circ f\sim id_X$.
[/mm]
Wegen [mm] $g\circ f\sim id_X$, [/mm] gibt es also eine stetige Abbildung
[mm] $H:X\times[0,1]\to [/mm] X$ mit [mm] $H_0:=H(-,0)=g\circ [/mm] f$ und [mm] $H_1:=H(-,1)=id_X$.
[/mm]
Dann ist [mm] $H(x,0)=g\circ [/mm] f(x):=x'$ und $H(x,1)=x$
Also ist $X$ wegzusammenhängend. Da [mm] $w_t:[0,1]\to [/mm] X$ mit [mm] $w_t(x):=H(t,x)$ [/mm] stetig.
Geht das so in Ordnung?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Mo 06.06.2016 | | Autor: | huddel |
Ich weiß nicht, ob das einfach zu lange her ist, aber hier meine Gedanken dazu :D
> Ein Raum [mm]X[/mm] heißt zusammenziehbar, falls er homotop zu
> einem Ein-Punkt-Raum ist.
> Zeigen Sie, dass jeder zusammenziehbare Raum
> wegzusammenhängend ist.
> Hallo,
>
> ich möchte diese Aussage beweisen und bin wie folgt
> vorgegangen:
>
> Damit ein Raum [mm]X[/mm] wegzusammenhängend ist, muss für alle [mm]x, x'\in X[/mm]
> ein Weg [mm]w[/mm] in [mm]X[/mm] existieren, mit [mm]w(0)=x'[/mm] und [mm]w(1)=x[/mm].
>
> Da [mm]X\sim\{x_0\}[/mm], gibt es stetige Abbildungen [mm]f, g[/mm] mit
> [mm]f:X\to\{x_0\}[/mm] und [mm]g:\{x_0\}\to X[/mm] so, dass [mm]f\circ g\sim id_{\{x_0\}}[/mm]
> und [mm]g\circ f\sim id_X[/mm].
ich bin etwas verwirrt, was ist denn eure definition von zusammenziehbar, oder besser, warum folg das aus zusammenziehbar? Habt ihr das bewiesen? Und was ist [mm] $x_0$?
[/mm]
> Wegen [mm]g\circ f\sim id_X[/mm], gibt es also eine stetige
> Abbildung
>
> [mm]H:X\times[0,1]\to X[/mm] mit [mm]H_0:=H(-,0)=g\circ f[/mm] und
> [mm]H_1:=H(-,1)=id_X[/mm].
ok die Folgerungen passen
> Dann ist [mm]H(x,0)=g\circ f(x):=x'[/mm] und [mm]H(x,1)=x[/mm]
warum kannst du dir [mm] $g\circ [/mm] f(x)$ so wählen. Oben hieß es nur, dass sie existieren. was genau diese machen weiß man nicht.
> Also ist [mm]X[/mm] wegzusammenhängend. Da [mm]w_t:[0,1]\to X[/mm] mit
> [mm]w_t(x):=H(t,x)[/mm] stetig.
Was ist jetzt $t$?
> Geht das so in Ordnung?
> Vielen Dank im voraus.
Ich würde direkt über die Definition gehen: du weißt $X$ ist zusammenziehbar. Also existiert eine Stetige Abbildung [mm] $H\colonX\times [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] X$ und ein Punkt [mm] $x_0 \in [/mm] X$ s.d. $H(x,0) = x$ und $H(x,1) = [mm] x_0$ [/mm] f.a. [mm] $x\in [/mm] X$.
Jetzt seien $x,x' [mm] \in [/mm] X$. Wie bastelst du dir nun einen Weg zusammen, der $x$ und $x'$ verbindet?
LG
Huddel
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> was ist denn eure definition von zusammenziehbar
Die Definition ist in der Aufgabenstellung gegeben. Wir haben es nicht in der Vorlesung definiert.
[mm] $x_0\in [/mm] X$. Und ich nutze die Definition von [mm] $X\sim \{x_0\}$, [/mm] also die Homotopie.
> Wie bastelst du dir nun einen Weg zusammen, der $ x $ und $ x' $ verbindet?
Hmm, ich würde es eigentlich wie in meiner Frage machen. Ich weiß, dass $H$ stetig ist und wähle diese Funktion als Weg, der $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] verbindet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mo 06.06.2016 | | Autor: | huddel |
dann gib mir doch mal anhand von $H$ eine direkte Definition des Weges an :)
das geht ziemlich expliziet
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Habe ich das in der ursprünglichen Frage nicht getan?
> Also ist $ X $ wegzusammenhängend. Da $ [mm] w_t:[0,1]\to [/mm] X $ mit $ [mm] w_t(x):=H(t,x) [/mm] $ stetig.
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Hat hierzu noch jemand eine Meinung?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Fr 10.06.2016 | | Autor: | huddel |
jetzt versteh ich langsam, was du sagen möchtest... so stimmt aber an deinen Aussagen etwas nicht ganz
> Ein Raum $ X $ heißt zusammenziehbar, falls er homotop zu
> einem Ein-Punkt-Raum ist.
> Zeigen Sie, dass jeder zusammenziehbare Raum
> wegzusammenhängend ist.
> Hallo,
>
> ich möchte diese Aussage beweisen und bin wie folgt
> vorgegangen:
>
> Damit ein Raum $ X $ wegzusammenhängend ist, muss für alle $ x, [mm] x'\in [/mm] X $
> ein Weg $ w $ in $ X $ existieren, mit $ w(0)=x' $ und $ w(1)=x $.
>
> Da $ [mm] X\sim\{x_0\} [/mm] $, gibt es stetige Abbildungen $ f, g $ mit
> $ [mm] f:X\to\{x_0\} [/mm] $ und $ [mm] g:\{x_0\}\to [/mm] X $
bis hier hin richtig. klar existieren derartige Funktionen, aber dazu brauchst du kein Zusammenziehbar. So wie du das aufgeschgeschrieben hast, sind beide Funktionen konstant.
Ich denke was du sagen wolltest ist, dass es für alle $x,x' [mm] \in [/mm] X$ Wege $f,g$ in $X$ gibt, s.d. $f$ die beiden Punkte $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] verbindet und $g$ die beiden Punkte [mm] $x_0$ [/mm] und $x'$ verbindet.
> so, dass $ [mm] f\circ g\sim id_{\{x_0\}} [/mm] $
> und $ [mm] g\circ f\sim id_X [/mm] $.
Dann würde diese Aussage auch wieder Sinn ergeben, auch wenn ich bei $ [mm] f\circ g\sim id_{\{x_0\}} [/mm] $ und $ [mm] g\circ f\sim id_X [/mm] $ wieder interpretieren muss was damit gemeint ist
Ich denke damit sollte der Rest dann auch passen
Im Grunde ist das ganze ein Vierzeiler:
Achtung Spoiler:
$X$ zusammenziehbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es ex. Homotopie [mm] $H\colon [/mm] X [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] X$ und [mm] $x_0 \in [/mm] X$ s.d. [mm] $\forall x\in [/mm] X:$ $H(x,0)=x$ und $H(x,1) = [mm] x_0$ [/mm] ist
Seien $x,x' [mm] \in [/mm] X$, dann definiere [mm] $\omega(t) [/mm] = H(x,t)$ und [mm] $\omega [/mm] '(t) = H(x',1-t)$
Definiere weiter [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \omega(2t)$ [/mm] für [mm] $0\leq t\leq \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \omega'(2t-1)$ [/mm] für [mm] $\frac{1}{2}\leq t\leq [/mm] 1$
damit ist [mm] $\gamma$ [/mm] stetig und [mm] $\gamma(0) [/mm] = x$ und [mm] $\gamma(1) [/mm] = x'$, womit die Behauptung folgt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 11.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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