zweimal differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei k [mm] \in \IR, [/mm] und sei f : [mm] \IR^3 [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] , ^t (x, y, z) [mm] \to [/mm] f(x, y, z) := [mm] \bruch{sin(k\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}) }{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}) }
[/mm]
Zeigen Sie, dass f zweimal differenzierbar ist und die so genannte Schwingungsgleichung
[mm] D_1_1 [/mm] f(x,y,z) + [mm] D_2_2 [/mm] f(x,y,z) + [mm] D_3_3 [/mm] f(x,y,z) = [mm] -k^2 [/mm] f(x,y,z)
für alle ^t(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] \ {0} erfüllt. |
Hallo,
vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich in der Lage bin die richtigen Ableitungen zu bilden . Wenn ich nach meinem Wissensstand (Kettenregel, Quotientenregel) z.B. [mm] D_1_1f(x,y,z) [/mm] bilde bekomme ich einen Bruch heraus, bei dem ich so meine Zweifel habe, ob er stimmt. Aber ich weiß auch nicht wie ich ihn anders berechnen kann. Ich schreibe ihn trotzdem mal auf. Vielleicht kann mir dann jemand sagen, ob er richtig ist oder nicht. Und falls nicht, vielleicht kann mir dann jemand sagen, wie ich richtig ableite?!
Also mithilfe von Ketten- und Quotientenregel erhalte ich für [mm] D_1_1f(x,y,z) [/mm] folgenden Bruch:
[mm] \bruch{(3r^4x - 2kr^2x^2)cos(kr) + (3rx^2 - k^2r^3x^2)sin(kr)}{r^6}.
[/mm]
mit r := [mm] \wurzel{x^2 + y^2 + z^2}
[/mm]
Falls diese zweifache Ableitung nach x allerdings so stimmen sollte, weiß ich nicht, wie ich auf den Ausdruck
[mm] -k^2 [/mm] f(x,y,z) kommen kann, wenn ich [mm] D_1_1f(x,y,z), D_2_2f(x,y,z) [/mm] und [mm] D_3_3f(x,y,z) [/mm] miteinander addieren würde. Wie bekomme ich denn dann den cos Ausdruck heraus??
Viele grüße und vielen dank schon mal,
schlumpfinchen!
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Hallo schlumpfinchen123,
> Sei k [mm]\in \IR,[/mm] und sei f : [mm]\IR^3[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm] , ^t (x, y,
> z) [mm]\to[/mm] f(x, y, z) := [mm]\bruch{sin(k\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}) }{\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}) }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f zweimal differenzierbar ist und die so
> genannte Schwingungsgleichung
> [mm]D_1_1[/mm] f(x,y,z) + [mm]D_2_2[/mm] f(x,y,z) + [mm]D_3_3[/mm] f(x,y,z) = [mm]-k^2[/mm]
> f(x,y,z)
>
> für alle ^t(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] \ {0} erfüllt.
> Hallo,
>
> vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe
> weiterhelfen.
> Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich in der Lage bin
> die richtigen Ableitungen zu bilden . Wenn ich nach meinem
> Wissensstand (Kettenregel, Quotientenregel) z.B.
> [mm]D_1_1f(x,y,z)[/mm] bilde bekomme ich einen Bruch heraus, bei dem
> ich so meine Zweifel habe, ob er stimmt. Aber ich weiß auch
> nicht wie ich ihn anders berechnen kann. Ich schreibe ihn
> trotzdem mal auf. Vielleicht kann mir dann jemand sagen, ob
> er richtig ist oder nicht. Und falls nicht, vielleicht kann
> mir dann jemand sagen, wie ich richtig ableite?!
>
> Also mithilfe von Ketten- und Quotientenregel erhalte ich
> für [mm]D_1_1f(x,y,z)[/mm] folgenden Bruch:
>
> [mm]\bruch{(3r^4x - 2kr^2x^2)cos(kr) + (3rx^2 - k^2r^3x^2)sin(kr)}{r^6}.[/mm]
Das mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> mit r := [mm]\wurzel{x^2 + y^2 + z^2}[/mm]
>
> Falls diese zweifache Ableitung nach x allerdings so
> stimmen sollte, weiß ich nicht, wie ich auf den Ausdruck
> [mm]-k^2[/mm] f(x,y,z) kommen kann, wenn ich [mm]D_1_1f(x,y,z), D_2_2f(x,y,z)[/mm]
> und [mm]D_3_3f(x,y,z)[/mm] miteinander addieren würde. Wie bekomme
> ich denn dann den cos Ausdruck heraus??
Nun, mit den richtigen zweiten partiellen Ableitungen
fällt dieser "cos Ausdruck" heraus.
>
> Viele grüße und vielen dank schon mal,
> schlumpfinchen!
Gruß
MathePower
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