zweimal stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Sa 26.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f:\IR\to\IR:x\mapsto|x|^3 [/mm] zweimal stetig differenzierbar ist und geben Sie die Ableitungen an. Ist f dreimal differenzierbar? |
hey ho...
bin grad dabei, mir weihnachten mit analysis zu versüßen (oder versauen?). naja wie auch immer...
habe hier schonmal versucht, die erste ableitung zu machen. bin da auf folgendes gekommen:
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}|\bruch{|x|^3-|x_0|^3}{x-x_0}| [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{|(|x|+|x_0|)(|x|^2-|x_0|^2)|}{|x-x_0|} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{(|x|+|x_0)(x^2-x_0^2)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{(|x|+|x_0|)(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} [/mm]
= [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}(|x|+|x_0|)(x+x_0) [/mm] = [mm] 2|x_0|*2x_0
[/mm]
is diese ableitung richtig? mit der zweiten komme ich iwie auch nich so ganz klar. wär toll wenn mir jemand helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo snoopy89,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR\to\IR:x\mapsto|x|^3[/mm]
> zweimal stetig differenzierbar ist und geben Sie die
> Ableitungen an. Ist f dreimal differenzierbar?
> hey ho...
>
> bin grad dabei, mir weihnachten mit analysis zu versüßen
> (oder versauen?). naja wie auch immer...
>
> habe hier schonmal versucht, die erste ableitung zu machen.
> bin da auf folgendes gekommen:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|[/mm] =
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}|\bruch{|x|^3-|x_0|^3}{x-x_0}|[/mm] =
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{|(|x|+|x_0|)(|x|^2-|x_0|^2)|}{|x-x_0|}[/mm]
> = [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{(|x|+|x_0)(x^2-x_0^2)}{x-x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{(|x|+|x_0|)(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}(|x|+|x_0|)(x+x_0)[/mm] =
> [mm]2|x_0|*2x_0[/mm]
>
> is diese ableitung richtig? mit der zweiten komme ich iwie
> auch nich so ganz klar. wär toll wenn mir jemand helfen
> könnte...
Es ist [mm]|x|^3-|x_0|^3 \not= (|x|+|x_0|)(|x|^2-|x_0|^2)[/mm]
Schreibe f(x) etwas um:
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^{3} & , \ x < 0 \\ +x^{3} & , \ x \ge 0\end{matrix}\right[/mm]
Und bilde dann die Ableitungen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 27.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
also ich habe mich jetz mal dran versucht, dass mit [mm] f(x)=\begin{cases} -x^3, & \mbox{für } x<0 \\ x^3, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} [/mm] abzuleiten. dazu würde ich zwei fälle betrachten.
1. Ableitung
für [mm] x\ge0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|x^2+xx_0+x_0^2|=3x_0^2
[/mm]
für x<0:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{-x^3+x_0^3}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{(x-x_0)(-x^2-xx_0-x_0^2)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|-x^2-xx_0-x_0^2|=|-3x_0^2|
[/mm]
was mich jetz etwas verwundert, ist, dass durch die betragsstriche ja dasselbe im prinzip nochmal darsteht. dann könnte ich ja auch nur mit [mm] 3x_0^2 [/mm] weiter machen. aba in dem fall denke ich (entgegen meiner erwartung), dass man dies auch dreimal stetig differenzieren kann. habe ich iwo einen fehler gemacht?
danke schonmal für die hilfe;)
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> also ich habe mich jetz mal dran versucht, dass mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x^3, & \mbox{für } x<0 \\ x^3, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
> abzuleiten. dazu würde ich zwei fälle betrachten.
>
> 1. Ableitung
>
> für [mm]x\ge0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|x^2+xx_0+x_0^2|=3x_0^2[/mm]
>
> für x<0:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{-x^3+x_0^3}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{(x-x_0)(-x^2-xx_0-x_0^2)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|-x^2-xx_0-x_0^2|=|-3x_0^2|[/mm]
>
> was mich jetz etwas verwundert, ist, dass durch die
> betragsstriche ja dasselbe im prinzip nochmal darsteht.
Hallo,
und mich verwundern Deine Betragstriche:
die Ableitung ist doch der Limes des Differenzenquotienten und nicht der des Betrages des Differenzenquotienten.
f ist für x>0 und für x<0 ganz sicher diffbar, weil ja [mm] x^3 [/mm] und [mm] -x^3 [/mm] diffbar sind.
Zu klären ist noch die Diffbarkeit im Punkt [mm] x_0=0.
[/mm]
Hier brauchst Du den Differenzenquotienten.
Berechne dessen Grenzwert von rechts und von links für [mm] x\to [/mm] 0, und schauu, ob die Grenzwerte gleich sind.
Wenn ja, dann kennst Du die Ableitung an der Stelle [mm] x_0=0.
[/mm]
Und wenn Du das hast, kannst Du gucken, ob die Ableitung stetig ist.
Danach kann's dann weitergehen mit der zweiten Ableitung. Auch diese kann Dir ja bloß im Punkt [mm] x_o=0 [/mm] Scherereien machen.
Gruß v. Angela
> dann könnte ich ja auch nur mit [mm]3x_0^2[/mm] weiter machen. aba
> in dem fall denke ich (entgegen meiner erwartung), dass man
> dies auch dreimal stetig differenzieren kann. habe ich iwo
> einen fehler gemacht?
>
> danke schonmal für die hilfe;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 27.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
also iwie bin ich jetz noch nen bissl mehr durcheinander^^ also hab die erklärung verstanden, dass ich bei x<0 und x>0 jetz soweit fertig bin und nun noch bei x=0 gucken soll. das würde ich wie folgt machen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+0}x^3 \overbrace{=}^{x=\bruch{1}{n}}\limes_{x\rightarrow 0+0}(\bruch{1}{n})^3=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0}x^3 \overbrace{=}^{x=-\bruch{1}{n}}\limes_{x\rightarrow 0-0}(-\bruch{1}{n})^3=0
[/mm]
damit wäre ja gezeigt, dass es den gleichen grenzwert hat. jedoch weiß ich jetzt nicht, was die ableitung an der stelle x=0 ist. oder ist es einfach nur die 0? also vorstellungstechnisch würde das ja klappen, aber weiß nicht ob das an dem konkreten beispiel liegt. vllt könnte mir da ja nochmal jemand helfen...
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Hiho,
> damit wäre ja gezeigt, dass es den gleichen grenzwert hat.
> jedoch weiß ich jetzt nicht, was die ableitung an der
> stelle x=0 ist. oder ist es einfach nur die 0? also
> vorstellungstechnisch würde das ja klappen, aber weiß
> nicht ob das an dem konkreten beispiel liegt. vllt könnte
> mir da ja nochmal jemand helfen...
also: Ist der linksseitige Grenzwert an der Stelle 0 gleich dem Rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle, so ist die Funktion an der Stelle differenzierbar und die Ableitung an der Stelle entspricht dem Grenzwert, also ja, in deinem Fall die Null.
Allerdings hast du Fehler gemacht, nämlich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0}x^3 \overbrace{=}^{x=\bruch{1}{n}}\limes_{x\rightarrow 0+0}(\bruch{1}{n})^3=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0}x^3 \overbrace{=}^{x=-\bruch{1}{n}}\limes_{x\rightarrow 0-0}(-\bruch{1}{n})^3=0[/mm]
>
Mit welcher Begründung setzt du [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ein?
x hat ja nicht nur die Form [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sondern läuft auf einer beliebigen Folge gegen 0!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Mo 28.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
also ich habe den grenzwert jetz mal noch anders gemacht. das andere war ja ziemlich mies^^
also habe jetz:
für [mm] x_0=0: [/mm] sei |x|<1.
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{f(x)}{x}|\le\limes_{x\rightarrow x_0}|\bruch{x^3}{x}|=\limes_{x\rightarrow x_0}|x^2|=0
[/mm]
ich hoffe, dass es diesmal so geht xD daraus folgt, dass [mm] f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ 3x^2, & \mbox{für } x>0 \\ -3x^2, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] .
also denke mal, dass es so sein müsste. nun muss ich ja zeigen, dass dies stetig ist. dabei habe ich so meine probleme. wir hatten es noch nich für den fall, dass so viele fälle möglich sind und ich weiß nicht, wie ich an die sache rangehen soll.
was stetigkeit bedeutet weiß ich. also eine funktion [mm] f:A\subseteq\IR\to\IR [/mm] heißt stetig in [mm] x_0\in [/mm] A, wenn es für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt mit [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] A mit [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
tja und nun komme ich nich weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Di 29.12.2009 | | Autor: | snoopy89 |
ok also habe mir alles nochmal durch den kopf gehen lassen. ich würde es jetzt so machen:
[mm] f:\IR \to \IR: x\to |x|^3
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^3, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
1. Ableitung:
für [mm] x\ge [/mm] 0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}x^2+xx_0+x_0^2=3x_0^2
[/mm]
für x<0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-x^3+x_0^3}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-x^2-xx_0-x_0^2)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-x^2-xx_0-x_0^2=-3x_0^2
[/mm]
daraus folgt f(x) ist differenzierbar mit der ableitung [mm] f'(x)=\begin{cases} 3x^2, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -3x^2, & \mbox{für } x<0 \end{cases}. [/mm]
stetigkeit in [mm] x_0=0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}3x^2=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}-3x^2=0
[/mm]
daraus folgt, dass f'(x) stetig ist und somit ist f(x) stetig differenzierbar.
2. Ableitung:
für [mm] x\ge [/mm] 0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{3x^2-3x_0^2}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(3x+3x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}3x+3x_0=6x_0
[/mm]
für x<0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-3x^2+3x_0^2}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-3x-3x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-3x-3x_0=-6x_0
[/mm]
daraus folgt f'(x) ist differenzierbar mit der ableitung [mm] f''(x)=\begin{cases} 6x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -6x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}. [/mm]
stetigkeit in [mm] x_0=0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}6x=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}-6x=0
[/mm]
daraus folgt, dass f''(x) stetig ist und somit ist f'(x) stetig differenzierbar bzw. f(x) zweimal stetig differenzierbar.
3. Ableitung:
für [mm] x\ge [/mm] 0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{6x-6x_0}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)6}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}6=6
[/mm]
für x<0
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-6x+6x_0}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-6)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-6=-6
[/mm]
daraus folgt f''(x) ist differenzierbar mit der ableitung [mm] f'''(x)=\begin{cases} 6, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -6, & \mbox{für } x<0 \end{cases}. [/mm]
stetigkeit in [mm] x_0=0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}6=6
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}-6=-6
[/mm]
daraus folgt, dass f'''(x) nicht stetig ist und somit ist f(x) nicht dreimal stetig differenzierbar.
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Hallo snoopy89,
> ok also habe mir alles nochmal durch den kopf gehen lassen.
> ich würde es jetzt so machen:
>
> [mm]f:\IR \to \IR: x\to |x|^3[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^3, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> 1. Ableitung:
>
> für [mm]x\ge[/mm] 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}x^2+xx_0+x_0^2=3x_0^2[/mm]
>
> für x<0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-x^3+x_0^3}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-x^2-xx_0-x_0^2)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-x^2-xx_0-x_0^2=-3x_0^2[/mm]
>
> daraus folgt f(x) ist differenzierbar mit der ableitung
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 3x^2, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -3x^2, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.[/mm]
>
> stetigkeit in [mm]x_0=0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}3x^2=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}-3x^2=0[/mm]
>
> daraus folgt, dass f'(x) stetig ist und somit ist f(x)
> stetig differenzierbar.
>
>
>
> 2. Ableitung:
>
> für [mm]x\ge[/mm] 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{3x^2-3x_0^2}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(3x+3x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}3x+3x_0=6x_0[/mm]
>
> für x<0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-3x^2+3x_0^2}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-3x-3x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-3x-3x_0=-6x_0[/mm]
>
> daraus folgt f'(x) ist differenzierbar mit der ableitung
> [mm]f''(x)=\begin{cases} 6x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -6x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.[/mm]
>
> stetigkeit in [mm]x_0=0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}6x=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}-6x=0[/mm]
>
> daraus folgt, dass f''(x) stetig ist und somit ist f'(x)
> stetig differenzierbar bzw. f(x) zweimal stetig
> differenzierbar.
>
>
> 3. Ableitung:
>
> für [mm]x\ge[/mm] 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{6x-6x_0}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)6}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}6=6[/mm]
>
> für x<0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-6x+6x_0}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{(x-x_0)(-6)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}-6=-6[/mm]
>
> daraus folgt f''(x) ist differenzierbar mit der ableitung
> [mm]f'''(x)=\begin{cases} 6, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -6, & \mbox{für } x<0 \end{cases}.[/mm]
>
> stetigkeit in [mm]x_0=0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}6=6[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}-6=-6[/mm]
>
> daraus folgt, dass f'''(x) nicht stetig ist und somit ist
> f(x) nicht dreimal stetig differenzierbar.
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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