zweite partielle Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 24.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi meine Aufgabe macht mir Kopfschmerzen.
Verzweifelt schaue ich ins Blatt und hoffe etwas falsch gelesen zu haben, aber nix da.
g(r,p):= f(r*cos*p,r*sin*p)
und sucht die zweite partill. Ableitung von g nach r.
Für die erste habe ich herrausbekommen:
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] g( r , p ) =
[mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x } [/mm] f(x, y) * cos p
Das hab ich mit der Kettenregel gemacht (hat mir jemand gesagt), ging eigentlich ganz einfach.
[mm] \bruch{ \partial^2 g }{ (\partial r)^2 } [/mm] g( r , p ) =
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] g( r , p ) ) =
[mm] \bruch{ \partial g }{ \partial r } [/mm] ( [mm] \bruch{ \partial f }{ \partial x } [/mm] f(x, y) * cos p )
Ok, aber wie kann ich das ableiten ?
Ich hab da ja gar kein r mehr drin... oder doch?
Und wie ... äh... also ... ich bin total verwirrt.
Das ganz Übungsblatt besteht aus solchen Aufgaben, ich verstehe Sie alle nicht.
Danke & Gruß von dem der Kopfschmerzen hat.
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Hallo,
> g(r,p):= f(r*cos*p,r*sin*p)
>
> und sucht die zweite partill. Ableitung von g nach r.
>
> Für die erste habe ich herrausbekommen:
> [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm] g( r , p ) =
> [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x }[/mm] f(x, y) * cos p
das stimmt so aber nicht:
Für die partiellen Ableitungen von verketteten Funktionen gilt ja, wie Du schon erwähnt hast die Kettenregel:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{\delta g}}
{{\delta r}}\; = \;\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}} \hfill \\
\frac{{\delta g}}
{{\delta p}}\; = \;\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
> [mm]\bruch{ \partial^2 g }{ (\partial r)^2 }[/mm] g( r , p ) =
> [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm] ( [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm]
> g( r , p ) ) =
> [mm]\bruch{ \partial g }{ \partial r }[/mm] ( [mm]\bruch{ \partial f }{ \partial x }[/mm]
> f(x, y) * cos p )
Da mußt Du die Regel von oben einfach nochmal anwenden:
[mm]
\frac{{\partial ^2 g}}
{{\partial r\partial p}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}}[/mm]
Das ergibt folgendes:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{\partial ^2 g}}
{{\partial r\partial p}} = \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x^2 }}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial y\partial x}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x\partial y}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial y^2 }}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}} \hfill \\
= \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x^2 }}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x\partial y}}\;\left( {\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}}} \right)\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial y^2 }}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Für [mm]\frac{{\partial ^{2} g}} {{\partial r^{2} }}[/mm] ergibt sich dann:
[mm]\frac{{\partial ^2 g}}
{{\partial r^2 }}\; = \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x^2 }}\;\left( {\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}} \right)^2 \; + \;2\;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial x\partial y}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\partial ^2 f}}
{{\partial y^2 }}\;\left( {\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)^2 [/mm]
Ich hoffe, Du kriegst das trotz Deiner Kopfschmerzen hin.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 24.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo MathePower,
> Für die partiellen Ableitungen von verketteten Funktionen
> gilt ja, wie Du schon erwähnt hast die Kettenregel:
>
> [mm]\begin{gathered}
\frac{{\delta g}}
{{\delta r}}\; = \;\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}} \hfill \\
\frac{{\delta g}}
{{\delta p}}\; = \;\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
> Da mußt Du die Regel von oben einfach nochmal anwenden:
>
> [mm]
\frac{{\partial ^2 g}}
{{\partial r\partial p}}\; = \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta p}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta p}}[/mm]
Stimmt das Folgendes ?
[mm]
\frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial r}}\; =
\frac{{\partial ^2 g}} {{\partial^2 r}}\; =
\;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}[/mm]
> Ich hoffe, Du kriegst das trotz Deiner Kopfschmerzen hin.
Es ist schon ein bisschen besser, hab Kaffee getrunken... naja... psychologisch... gibt mir Gefühl neuer Kraft ;)
Danke 
Gruß
Sebasitan
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Hallo baddi,
> Stimmt das Folgendes ?
> [mm]
\frac{{\partial ^2 g}} {{\partial r\partial r}}\; =
\frac{{\partial ^2 g}} {{\partial^2 r}}\; =
\;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta \left( {\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} \right)}}
{{\delta y}}\;\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}[/mm]
das ist richtig.
Gruß
MathePower
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