zyklische Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Sa 12.11.2005 | | Autor: | tsy |
Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Der Oberbegriff ist "Gruppen":
Eine endliche Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element g [mm] \varepsilonG [/mm] gibt, sodass
G = [mm] {g^{n}: n \varepsilon \IN }.
[/mm]
Man zeige, dass eine endliche zyklische Gruppe G mit k [mm] \varepsilon \IN [/mm] Elementen isomorph zur Gruppe [mm] \IZ /k\IZ [/mm] ist.
Kann mir jemand sagen, wo ich bei dieser Aufgabe anfangen könnte?
Bin sehr ratlos und würde mich über jeden Tipp freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine endliche Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element
> g [mm] \varepsilon [/mm] G gibt, sodass
> G [mm] ={g^{n}: n \in \IN }.
[/mm]
> Man zeige, dass eine
> endliche zyklische Gruppe G mit k [mm] [\varepsilon \IN
[/mm]
> Elementen isomorph zur [mm] Gruppe\IZ /k\IZ [/mm] ist.
>
> Kann mir jemand sagen, wo ich bei dieser Aufgabe anfangen
> könnte?
> Bin sehr ratlos und würde mich über jeden Tipp freuen!
Hallo,
Die Gruppe G soll also endlich sein von der Ordnung k und alle Potenzen von g enthalten.
Dann ist [mm] g^k= [/mm] 1 (zeigen), und es ist
G={ [mm] 1,g,g^2,...,g^{k-1} [/mm] }. (Die Verknüfung ist hier [mm] g^ag^b:=g^{a+b}.)
[/mm]
Nun betrachte [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IZ \to [/mm] G mit [mm] \varphi [/mm] (z):= [mm] g^z [/mm] f.a. z [mm] \in \IZ.
[/mm]
Dies ist ein Epimorphismus, es ist Kern [mm] \varphi [/mm] =k [mm] \IZ, [/mm] und hieraus folgt mit dem Homomorphiesatz [mm] \IZ /k\IZ \cong [/mm] G.
Gruß v. Angela
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