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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit p Elementen. Zeigen Sie, dass
G zyklisch ist und berechnen Sie die Anzahl der Erzeuger. |
Sei [mm] a\in [/mm] G, dann könne die von a erzeugten Untergrp. ja nur Ordnung 1 oder p sein. (Satz von Lagrange) Bei Ordnung 1 enthält die Untergrp. nur das neutrale Element e, damit kann man G ja nicht erzeugen.
Also betrachte ich a [mm] \not= [/mm] e, dann enthält die erzeugte Untergrp. p Elemente als ganz G. Und somit wird G aus a erzeugt.
Da a beliebig war [mm] \Rightarrow [/mm] jedes Element der Grp. G ist Erzeuger.
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit p Elementen.
> Zeigen Sie, dass
> G zyklisch ist und berechnen Sie die Anzahl der Erzeuger.
> Sei [mm]a\in[/mm] G, dann könne die von a erzeugten Untergrp. ja
> nur Ordnung 1 oder p sein. (Satz von Lagrange) Bei Ordnung
> 1 enthält die Untergrp. nur das neutrale Element e, damit
> kann man G ja nicht erzeugen.
denn [mm] $1\,$ [/mm] ist ja bekanntlich keine Primzahl!
> Also betrachte ich a [mm]\not=[/mm] e, dann enthält die erzeugte
> Untergrp. p Elemente als ganz G. Und somit wird G aus a
> erzeugt.
>
> Da a beliebig war [mm]\Rightarrow[/mm] jedes Element der Grp. G ist
> Erzeuger.
>
> stimmt das?
Nur auf die Schnelle:
1.) Was jedenfalls nicht sein kann, ist, dass jedes $a [mm] \in [/mm] G$ ein Erzeuger von [mm] $G\,$ [/mm] ist. Du selbst schreibst ja, dass $e [mm] \in [/mm] G$ KEIN Erzeuger der Gruppe sein kann [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Erzeuger können maximal in $G [mm] \setminus \{e\}$ [/mm] liegen.
Du hast das zwar alles richtig gemacht, nur eben am Ende das, was Du selbst "ausgenommen" hast, nicht mehr beachtet.
2.) Du hast noch nicht die Anzahl der Erzeuger von [mm] $G\,$ [/mm] konkret angegeben.
3.) Wo ist der Beweis dafür, dass [mm] $G\,$ [/mm] zyklisch ist? Wenn ich das richtig sehe, kann man das sogar auch mit Lagrange folgern:
Man nehme ein EZS (Erzeugendensystem) von [mm] $G\,$ [/mm] mit mindestens zwei Elementen, dann nimmt man aus diesem EZS ein Element [mm] $a\not=e$ [/mm] her und betrachtet die durch dieses Element erzeugte Untergruppe [mm] $\,$- [/mm] die Anzahl der Elemente der letzten durch ein Element erzeugten Untergruppe teilt nach Lagrange dann die durch das EZS erzeugte Gruppe (denn die durch das eine Element erzeugte Gruppe [mm] $\,$ [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] $G\,$). [/mm] Damit kann [mm] $|G|\,$ [/mm] aber keine Primzahl mehr sein (denn die Anzahl der Elemente von [mm] $\,$ [/mm] ist, weil das Element [mm] $a\not=e$ [/mm] war, aber auch $e [mm] \in [/mm] <a>$ gelten muss, dann [mm] $\ge [/mm] 2$: $|<a>| [mm] \ge [/mm] 2$).
Gruß,
Marcel
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1. Dann wurde ich sagen gilt für einen Erzeuger x [mm] \in [/mm] G\ {e} , also alle Elemte der Gruppe bis auf e können die Grp. erzeugen.
2. Anzahl n der Erzeugere: n=p-1
3. Ich dachte:" a erzeugt als Untergrp. ganz G also muss gelten, dass G zyklisch ist."
Reicht das nicht oder stimmt das nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Fr 18.05.2012 | | Autor: | teo |
> 1. Dann wurde ich sagen gilt für einen Erzeuger x [mm]\in[/mm] G\
> {e} , also alle Elemte der Gruppe bis auf e können die
> Grp. erzeugen.
>
> 2. Anzahl n der Erzeugere: n=p-1
>
> 3. Ich dachte:" a erzeugt als Untergrp. ganz G also muss
> gelten, dass G zyklisch ist."
> Reicht das nicht oder stimmt das nicht?
Hallo,
ich glaube du meintest das richtige. Aber Marcel hats halt schöner aufgeschrieben.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. Dann wurde ich sagen gilt für einen Erzeuger x [mm]\in[/mm] G\
> {e} , also alle Elemte der Gruppe bis auf e können die
> Grp. erzeugen.
richtig. Wie gesagt: Du hattest alles richtig gemacht, nur diese kleine Sache übersehen/vergessen!
> 2. Anzahl n der Erzeugere: n=p-1
Sehe ich auch so: Es folgt sofort aus Deinen Überlegungen mit meinem kleinen Hinweis auf das, was Du "vergessen" hattest. Du hattest nur die Antwort auf die Frage noch nicht "direkt" gegeben. (Wir sind ja nicht in der Politik: Konkrete Fragen werden auch konkret beantwortet in der Mathematik!) 
> 3. Ich dachte:" a erzeugt als Untergrp. ganz G also muss
> gelten, dass G zyklisch ist."
> Reicht das nicht oder stimmt das nicht?
Ich bin in der Gruppentheorie nur sporadisch und wenn ich mal Zeit dafür habe unterwegs, von daher kann ich nur sagen, dass mir das so erstmal nicht reichen würde. Also:
Etwa wegen Lagrange wird das hier ja stimmen, aber wenn Dir das so offensichtlich erscheint, müsstest Du es auch ganz detailliert aufschreiben können, wenn ein anderer sagt, dass das für ihn (noch) nicht offensichtlich ist. Als Korrekteur wollte ich wenigstens ein Stichwort haben, warum das für Dich offensichtlich ist (vielleicht reicht Deinem Korrekteur, dass Du Lagrange erwähnst - das weiß ich nicht):
Aber okay: Irgendwie steckt das auf jeden Fall auch in Deinen Überlegungen alles mit drin. Ich denke halt, dass Du manchmal sowas wie zwei Schritte in einem machst. Das finde ich einerseits gut, weil man dann schneller voranschreitet, andererseits ein wenig gefährlich, weil man dann evtl. "falsche Überlegungen" versteckt hält. Ich würd's an Deiner Stelle nochmal genau überlegen, ob Dir das wirklich klar ist, warum [mm] $G\,$ [/mm] nicht nichtzyklisch sein kann. Falls Du schnell Argumente findest, die für andere leicht nachvollziehbar sind, ist's Dir komplett klar. Andererseits machst Du evtl. "Schnellschüsse", die hier zwar richtig sind, aber manchmal auch gefährlich werden können...
Gruß,
Marcel
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