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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:26 Mi 15.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | | Sei [mm] n\in\IZ. [/mm] Zeige, dass alle Untergruppen H der Gruppe [mm] G=\IZ/(n) [/mm] zyklisch sind, wobei (n) die von n erzeugte zyklische Unterguppe ist. |
Hallo zusammen!
Zunächst hätte ich eine allgemeine frage:
was muss man genau konkret beweisen um zu zeigen, dass eine gruppe zyklisch ist?
nun zur aufgabe:
Aus der VL weiß ich, dass [mm] G=\IZ/(n) [/mm] = { [mm] \overline{0}, \overline{1}, [/mm] ..., [mm] \overline{n-1} [/mm] } ist.
wenn ich nun zeigen soll, dass H zyklisch ist, dann muss ich doch einen erzeuger [mm] \overline{i} [/mm] finden, so dass [mm] <\overline{i}>=H \subset [/mm] G gilt. stimmt das so? kann man es auch anders beweisen?
Sei H [mm] \subset [/mm] G. Sei [mm] \overline{i} \in [/mm] H.
Sei [mm] <\overline{i}> [/mm] = H = { [mm] ki|k\in\IZ [/mm] }
Das ist doch das, was ich zeigen soll. aber wie zeige ich das? das ist mir nicht so klar.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Fr 17.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo zusammen!
Könntet ihr mir bitte einen Hinweis geben, wie ich die Eigenschaft "zyklisch" von Untergruppen beweisen kann? Ein allgemeines Prinzip oder so was ähnliches.
kann ich die aufgabe hier auch mit induktion über n beweisen? damit meine ich, dass ich zeige, dass alle untergruppen H für alle n zyklisch sind.
hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen!
vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
ich weiß natürlich nicht, ob Du das verwenden darfst: Sei [mm] $G=\langle a\rangle$ [/mm] eine (additiv geschriebene) zyklische Gruppe. Ist $k$ Teiler von $|G|$, dann ist [mm] $\langle ak\rangle$ [/mm] eine zyklische Untergruppe von $G$. (gemeint ist die Summe $a+a [mm] +\ldots [/mm] a$, die aus $k$ Summanden $a$ besteht.)
Nun ja, um zu zeigen, daß eine Gruppe zyklisch ist, muß man zeigen, daß es ein Gruppenelement $g$ gibt, so daß jedes [mm] $a\in [/mm] G$ Summe (Produkt) aus lauter "g"s ist  .
Mfg
zahlenspieler
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