zyklische gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
sei (G,.) eine zyklische gruppe,endlich oder unendlich
ist jede untergruppe von G ebenfalls zyklisch?
und wie bestimmt man alle untergruppe?
danke
|
|
| |
|
Hallo,
also zunächst zu deiner ersten Frage:
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist selbst auch zyklisch. Das ist ein Satz und den findest in jedem Algebrabuch.
Auf deine zweite Frage weiß ich keine so eindeutige Antwort. Also man kann aber zumindest sagen, dass die Untergruppen kleinere Ordnung haben. Ansonsten muss man noch mehr Eigenschaften von deiner Gruppe fordern, z.B. abelsch, etc.
VG mathmetzsch
|
|
|
| |
|
wie viele untergruppe hat die gruppe Z/120Z?
|
|
|
| |
|
> wie viele untergruppe hat die gruppe Z/120Z?
Hallo,
sie hat so viele Untergruppen, wie 120 Teiler hat.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
oder nicht nur teiler von 120,sonder wenn ggT(i,n) groesser als 1,
[mm] [/mm] ist auch untergruppe von G, x ist element von G
|
|
|
| |
|
> oder nicht nur teiler von 120,sonder wenn ggT(i,n) groesser
> als 1,
> [mm][/mm] ist auch untergruppe von G, x ist element von G
Hallo!
Ich verstehe nicht genau, was Du hiermit sagen willst. Was soll dein n jetzt sein? 120? Ja, bestimmt 120.
Ich zeig Dir, daß das nicht stimmt.
Es ist ja 8=ggT(16,120). Aber keine Untergruppe von Z/120Z kann die Ordnung 16 haben:
Da Z/120Z zyklisch, ist jede Untergruppe zyklisch.
Angenommen also, es gäbe eine Untergruppe der Ordnung 16. Dann hätte man ein Element a der Ordnung 16.
==> [mm] 1=a^{120}=(a^16)^7*a^8=a^8. [/mm] Widerspruch zu ord(a)=16.
Also kann es keine Untergruppe mit 16 Elementen geben.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
hallo angela,
du hast falsch verstanden,was ich meine.ich meine so:
Z/120Z ist eine zyklische gruppe,Z/120Z={[0],[1],................[119]}
die hat 120 elemente.x:=[1],dann kann man so umschreiben Z/120Z=<x>.
d.h. Z/120/Z wird von x erzeugt
2 ist teiler von120 ,dann [mm] [/mm] auch untergruppe von Z/120Z [mm] ,ord(x^{2})=60 , [/mm] ={[0],[2],[4],.............[118]}
16 ist kein teiler von 120,aber [mm] ggt(16,120)=8, [/mm] doch untergruppe von Z/120Z [mm] ,ord(x^{16})=15,, [/mm] ist wie oben definiert
deshalb meine ich,dass [mm] ist [/mm] untergruppe ,wenn ggt(i.120)>1
[mm] ord()=120/ggt(i,120)
[/mm]
die anzahl von i,ggt(i,120)>1 plus 2({[0]},und z/120z die beide sind auch untergruppe) ist anzahl von alle untergruppe.
ist das stimmt
|
|
|
| |
|
> hallo angela,
> du hast falsch verstanden,was ich meine.ich meine so:
> Z/120Z ist eine zyklische
> gruppe,Z/120Z={[0],[1],................[119]}
Ja.
> die hat 120 elemente.x:=[1],dann kann man so umschreiben
> Z/120Z=<x>.
Ja.
> d.h. Z/120/Z wird von x erzeugt
Ja.
> 2 ist teiler von120 ,dann [mm][/mm] auch untergruppe von
> Z/120Z [mm],ord(x^{2})=60 ,[/mm]
> ={[0],[2],[4],.............[118]}
Ja.
Und das gilt nicht nur für die 2, sondern für jeden Teiler von 120.
Ich glaube, bis hierher sind wir uns einig.
Im nächsten Teil machst Du nun einen Denkfehler. Paß auf!
> 16 ist kein teiler von 120,aber ggt(16,120)=8
Ja, das stimmt.
> < [mm] x^{16} [/mm] >
> doch untergruppe von Z/120Z,
Ja, auch das ist nicht falsch, ABER:
Es ist [mm] x^8= (x^{16})^8 [/mm] , also ist [mm] x^8 \in [/mm]
==> [mm] \subseteq [/mm] .
Es ist weiter [mm] x^{16}=(x^8)^2 \in [/mm]
==> [mm] \subseteq [/mm]
Insgesamt hat man also [mm] [/mm] = [mm] [/mm] .
Und diese Untergruppe hatten wir ja schon "gezählt" bei denen mit Teilerordnung!
[mm] > [/mm] ist
> wie oben definiert
>
> deshalb meine ich,dass [mm] ist [/mm] untergruppe ,wenn
> ggt(i.120)>1
> [mm]ord()=120/ggt(i,120)[/mm]
Jaja,
> die anzahl von i,ggt(i,120)>1
Genau hier liegt der Fehler, wenn Du es so machst, zählst Du Untergruppen doppelt.
Gruß v. Angela
plus 2({[0]},und z/120z die
> beide sind auch untergruppe) ist anzahl von alle
> untergruppe.
> ist das stimmt
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich denke die Frage wurde von Angela hinreichend beantwortet.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
> > wie viele untergruppe hat die gruppe Z/120Z?
>
> Hallo,
> sie hat so viele Untergruppen, wie 120 Teiler hat.
Du hattest meine Antwort als "falsch" gekennzeichnet, aber sie stimmt:
Z/120Z ist eine zyklische Gruppe, nämlich die mit 120 Elementen, [mm] \IZ_{120}.
[/mm]
Deshalb gibt es zu jedem Teiler t der Gruppenordnung, also zu jedem Teiler t von 120, genau eine Untergruppe der Ordnung t.
Da in endlichen Gruppen die Ordnung einer jeden Untergruppe Teiler der Gruppenordnung ist, kann es weitere Untergruppen nicht geben.
Gruß von Angela
|
|
|
| |
|
ist jede faktorgruppe von G ebenfalls zyklisch?
wie werden die isomorphietypen aller faktorgruppe von G bestimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ist $G= [mm] \langle [/mm] a [mm] \rangle$, [/mm] so ist natürlich auch $G/U [mm] =\langle aU\rangle$ [/mm] zyklisch. Die Isomorphieklassen der verschiedenen Faktorgruppen sind nach dem Homomorphiesatz genau die Isomorphieklassen der homomorphen Bilder von $G$.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
