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| Aufgabe | | Sei [mm] F=\{\frac{2}{3}n+\frac{4}{5}m\;,n,m\in\IZ\}. [/mm] Ist F eine Untergruppe von [mm] $\IQ/\IZ$. [/mm] Ist F zyklisch? |
Untergruppe
neutrales element ist H mit n=3 und m=5. Denn dann ist [mm] $H=\IZ$.
[/mm]
Wie zeige ich Abgeschlossenheit der Mutiplikation? Ich nehme doch [mm] $(a,b)\in [/mm] H$ und [mm] $(c,d)\in [/mm] H$ und muss zeigen, dass [mm] $(a,b)(c,d)\in [/mm] H$ liegt.
[mm] $\left( 2/3\,a+4/5\,b \right) \left( 2/3\,c+4/5\,d \right) =4/9\,ac+{\frac {8}{15}}\,ad+{\frac {8}{15}}\,bc+{\frac {16}{25}}\,bd$
[/mm]
bringt mich nicht wirklich weiter.
andere Idee:
Welchen Homomorphismus kann ich betrachten, bei dem [mm] $\IZ$ [/mm] der Kern ist? Dann brauche ich ja nur das Bild zu analysieren. Ich habe gelesen, dass [mm] $\IQ/\IZ\cong [/mm] $ komplexe Einheitswurzel ist. Warum ist das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 12.01.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei [mm]F=\{\frac{2}{3}n+\frac{4}{5}m\;,n,m\in\IZ\}.[/mm] Ist F eine
> Untergruppe von [mm]\IQ/\IZ[/mm]. Ist F zyklisch?
Hier hapert es noch an vielem. F ist so wie es dasteht eine Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] und als solche erstmal keine Restklasse in Q/Z. Dann fehlt es an der Beschreibung der Verknüpfung in F. Du scheinst an die Multiplikation zu denken, ich würde erstmal an die Addition denken. Wenn das geklärt ist, sehen wir weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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