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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und [mm] \alpha [/mm] = [mm] e^{\bruch{2*\pi}{p}*i}. [/mm] Zeigen Sie dass eine zyklotomische Einheit [mm] \epsilon \in \IZ[\alpha]^{\iota} [/mm] existiert, sodass die Gleichung [mm] \beta^p [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] keine Lösung [mm] \beta \in \IZ[\alpha] [/mm] hat. |
Liebes Forum,
ich bin etwas ratlos was obige Aufgabe angeht.
Ich habe versucht das Gegenteil anzunehmen, also dass die Gleichung für jede Einheit lösbar in [mm] \IZ[\alpha] [/mm] ist. Aber das hat mich auch nicht wirklich weiter gebracht.
Ich habe keine Idee, wie ich das zeigen könnte!
Vielleicht kann mir ja jemand von euch neue Ideen für Ansätze geben?
Das wäre toll! Vielen Dank im Voraus 
schnecke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hippias |
Das Gegenteil anzunehmen, ist sicherlich vernuenftig: Man kann sich fragen, ob die Gleichung [mm] $\beta^{p}= \alpha$ [/mm] in [mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] loesbar ist. So ein [mm] $\beta$ [/mm] waere eine primitive [mm] $p^{2}$-te [/mm] Einheitswurzel. Der Grad [mm] $\IQ[\beta]:\IQ$ [/mm] waere dann $p(p-1)$. Vielleicht faellt Dir jetzt ein, wie der Rang von [mm] $\IZ[\alpha]= \IZ[\beta]$ [/mm] als freie [mm] $\IZ$-Moduln [/mm] mit dem Grad der entsprechenden Koerperweiterung zusammenhaengt.
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Danke für deine schnelle Antwort
Ich werde dem mal nachgehen.
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Ich möchte vorwegschicken, dass ich über diesen Zusammenhang noch nichts (und ja, sogar über Moduln noch sehr wenig) in Vorlesungen gehört habe. Ich hab gerade mal etwas in Büchern geschmökert und folgende Idee entwickelt, bei der ich mir aber sehr unsicher bin! Wir haben noch nicht einmal den Rang von Moduln definiert.
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, dann stimmt der Grad der Körpererweiterung mit dem Rang des [mm] \IZ-Moduls [/mm] überein, dass heißt der wäre hier dann auch p(p-1).
Wenn ich nun richtig interpretiere, was der Rang eines freien Moduls ist, nämlich die Kardinalität der Basis (also jeder Basis), dann hätte ich einen Widerspruch, denn [mm] (1,\alpha, \alpha^2, [/mm] ..., [mm] \alpha^{p-2}) [/mm] ist eine Basis von [mm] \IZ[\alpha], [/mm] aber die Kardinalität ist nicht p(p-1) sondern p-1.
Somit wäre die Gleichung im Allgemeinen also nicht lösbar und das wollte ich ja.
Über Korrekturen, Erklärungen, Verbesserungsvorschläge oder auch vernichtende Kritik^^ würde ich mich freuen!
(Möglichst Letzteres nicht ohne Erklärung  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 So 25.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich möchte vorwegschicken, dass ich über diesen
> Zusammenhang noch nichts (und ja, sogar über Moduln noch
> sehr wenig) in Vorlesungen gehört habe. Ich hab gerade mal
> etwas in Büchern geschmökert und folgende Idee
> entwickelt, bei der ich mir aber sehr unsicher bin! Wir
> haben noch nicht einmal den Rang von Moduln definiert.
In dem Fall verwende den Rang auch nicht. Wie schon geschrieben, man kommt ganz ohne den Rang eines Moduls aus (sogar ganz ohne Moduln).
> Also, wenn ich das richtig verstanden habe, dann stimmt der
> Grad der Körpererweiterung mit dem Rang des [mm]\IZ-Moduls[/mm]
> überein, dass heißt der wäre hier dann auch p(p-1).
Das stimmt. Musst du aber erst beweisen, wenn du es verwenden willst.
> Wenn ich nun richtig interpretiere, was der Rang eines
> freien Moduls ist, nämlich die Kardinalität der Basis
> (also jeder Basis), dann hätte ich einen Widerspruch, denn
> [mm](1,\alpha, \alpha^2,[/mm] ..., [mm]\alpha^{p-2})[/mm] ist eine Basis von
> [mm]\IZ[\alpha],[/mm] aber die Kardinalität ist nicht p(p-1)
> sondern p-1.
Ja. Wobei die Kardinalitaet [mm] $\ge [/mm] p (p - 1)$ sein muss (bzw. ein Vielfaches davon) (und nicht gleich $p (p - 1)$), aber $p - 1$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Fr 23.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin schnecke!
> Sei p eine Primzahl und [mm]\alpha[/mm] = [mm]e^{\bruch{2*\pi}{p}*i}.[/mm]
> Zeigen Sie dass eine zyklotomische Einheit [mm]\epsilon \in \IZ[\alpha]^{\iota}[/mm]
> existiert, sodass die Gleichung [mm]\beta^p[/mm] = [mm]\epsilon[/mm] keine
> Lösung [mm]\beta \in \IZ[\alpha][/mm] hat.
Hattet ihr zufaellig den Dirichletschen Einheitensatz?
LG Felix
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Danke für deinen Beitrag!
Nein, ich habe gerade mal auf Wiki geschaut, den hatten wir leider nicht.
Die anderen Aufgaben (und auch die Vorlesung) sind bis jetzt ziemlich elementar, deshalb finde ich das auch etwas merkwürdig, dass diese eine Aufgabe so unnahbar ist.
(Zum Niveau: die anderen Aufgaben diese Woche waren zum Beispiel: Freshmans Dream, zeigen, dass ein r prim genau dann, wenn das erzeugte Ideal ein Primideal ist, zeigen dass der R/I ein integritätsbereich ist, wenn I ein Primideal ist, ...
also vom Niveau doch etwas von Galois-Zeug entfernt. Ich kann damit aber schon etwas anfangen, hab schon eine gute Algebra-Vorlesung gehört, nur wundert mich, dass die Aufgabe scheinbar so ein anderes Vorwissen voraussetzt, als die anderen. Aber gut. Dann probier ichs mal mit schwereren Geschützen...)
Ideen und Gedankenanstöße sind aber natürlich weiterhin herzlich willkommen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 25.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für deinen Beitrag!
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> Nein, ich habe gerade mal auf Wiki geschaut, den hatten wir
> leider nicht.
>
> Die anderen Aufgaben (und auch die Vorlesung) sind bis
> jetzt ziemlich elementar, deshalb finde ich das auch etwas
> merkwürdig, dass diese eine Aufgabe so unnahbar ist.
Die ist nicht unnahbar. Es ist nur nicht klar, welche Hilfsmittel dir (nicht) zur Verfuegung stehen. Mit gewissen Hilfsmitteln ist es sehr einfach. Ohne diese ist es etwas mehr Arbeit (als ganz wenig), aber durchaus noch schaffbar.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 25.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin schnecke!
> Sei p eine Primzahl und [mm]\alpha[/mm] = [mm]e^{\bruch{2*\pi}{p}*i}.[/mm]
> Zeigen Sie dass eine zyklotomische Einheit [mm]\epsilon \in \IZ[\alpha]^{\iota}[/mm]
> existiert, sodass die Gleichung [mm]\beta^p[/mm] = [mm]\epsilon[/mm] keine
> Lösung [mm]\beta \in \IZ[\alpha][/mm] hat.
[mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] ist ein Unterring von [mm] $\IQ(\alpha)$, [/mm] welches eine Koerpererweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] von Grad $p - 1$ ist.
Kannst du also zeigen, dass [mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] und somit auch [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ein Element enthaelt, dessen Minimalpolynom Grad $p (p - 1)$ hat, so bekommst du sehr direkt einen Widerspruch.
Dazu benoetigst du nur ein kleines wenig Koerpertheorie. (Und das Wissen, welchen Grad das Minimalpolynom einer $n$-ten Einheitswurzel hat.)
LG Felix
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Vielen herzlichen Dank, Felix, für deine Hilfe!
Ich habs jetzt
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