Äquivalenzumformung

Gegeben sei ein Lineares Gleichungssystem durch

Dann kann man unter drei Lösungsverfahren wählen:

Geichsetzungsverfahren
Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die beiden rechten Seiten
der Gleichungen gleich (weil ja links auch dasselbe steht).
Dadurch erhält man eine (lineare) Gleichung mit nur einer Variablen,
die man wie gewohnt lösen kann.
Anschließend berechnet man aus einer der gegebenen Gleichungen die 2. Variable
und macht mit der anderen Gleichung die Probe. (wichtig!)

Einsetzungsverfahren
Aus einer der beiden Gleichungen wird eine Variable freigerechnet.
Diesen Ausdruck setzt man in die andere Gleichung ein und löst die so entstehende
(lineare) Gleichung wie gewohnt und macht mit der ersten Gleichung die Probe. (wichtig!)

Additionsverfahren
Man erreicht durch geeignete Multiplikation der Gleichungen, dass die Koeffizienten
einer Variablen gleich oder umgekehrt gleich sind.
Man addiert oder subtrahiert die beiden Gleichungen und erhält so eine (lineare) Gleichung
mit einer Variablen, die man wie gewohnt lösen kann.
Anschließend berechnet man aus einer der gegebenen Gleichungen die 2. Variable und
macht mit der anderen Gleichung die Probe. (wichtig!)

Diese Verfahren eignen sich für Gleichungssysteme mit wenigen Variablen.
Muss man größere Gleichungssysteme lösen, werden die ersten beiden Verfahren
leicht unübersichtlich und damit fehlerträchtig.
Stattdessen setzt man dann den Gauß-Algorithmus ein,
der ein organisiertes Additionsverfahren darstellt.

Beispiel:

Geichsetzungsverfahren
aus (1): x = -1,5y + 7,75
und (2): x = 0,4y + 1,1
folgt: -1,5y + 7,75 = 0,4y + 1,1
             y = 3,5
in (1): x = -1,5*3,5 + 7,75 = 2,5
Die Lösungsmenge ist

Einsetzungsverfahren
aus (1): x = -1,5y + 7,75
in (2):  5(-1,5y + 7,75) -  2y = 5,5
  -7,5y + 38,75 - 2y = 5,5
   -9,5y = -33,25
    y = 3,5
weiter wie oben...

Additionsverfahren
(1)  2x + 3y = 15,5   | * 5
(2)  5x -  2y = 5,5    | * (-2)

(1.1) 10x + 15y = 77,5
(2.1) -10x + 4y = -11

Addition der Gleichungen:
(1.2) 19y = 66,5
      y = 3,5
weiter wie oben ...

Bemerkung

Enthält eine Gleichung einen Wurzelausdruck, so kann man die Gleichung zwar quadrieren
und dann nach der Lösung suchen; aber dieses ist keine Äquivalenzumformung!
Das bedeutet, dass durch dieses Verfahren u.U. zusätzliche Lösungen entstehen.
Darum muss man nach einer solchen Umformung unbedingt
die gefundenen "Lösungen" an der Ausgangsgleichung überprüfen.

Beispiel:

|-60-6b
|:6
|quadrieren
|+b²-100
|:2
pq-formel

Probe:

, also ist eine Lösung

, also ist auch eine Lösung der Gleichung.