www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Eigenvektor
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Eigenvektor

Eigenvektoren


Definition

Sei $ \phi: V \to V $  $ \vec{v} \mapsto \phi(\vec{v}) $ ein Endomorphismus und A die dazugehörige (eindeutig) Darstellungsmatrix.

$ \vec{v} $ ist genau dann ein Eigenvektor von $ \phi $, wenn $ \phi(\vec{v})=\lambda\vec{v} $ gilt. Es muss weiterhin gelten $ \vec{v}\not=\vec{0} $, d.h. der Nullvektor ist per definitionem kein Eigenvektor. (0 darf aber dagegen ein Eigenwert sein).


Berechnung von Eigenvektoren

Um Eigenvektoren zu berechnen, berechnet man zunächst die Eigenwerte der Matrix, also die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms.
Als nächstes berechnet man dann die Eigenräume zum Eigenwert $ \lambda $.
Alle Vektoren, die dann im Eigenraum zum dazugehörigen Eigenwert $ \lambda $ liegen, sind Eigenvektoren.


Theorie

Die Dimension des Eigenraumes ist höchstens so groß, wie die Multiplizität des Eigenwertes. Die Dimension des Eigenraumes nennt man auch Geometrische Vielfachheit und die Multiplizität des Eigenwertes auch Algebraische Vielfachheit. Es gilt also:

geom. Vielfachheit $ \le $ algebraische Vielfachheit


Beispiel

Es sei ein Endomorphismus durch die darstellende Matrix $ A:=\pmat{5&4&16\\6&1&14\\0&-3&-4} $

1) Berechnen des charakteristischen Polynoms

$ \chi_A(t)=det\left( \pmat{5-t&4&16\\6&1-t&14\\0&-3&-4-t} \right)=t^3-2t^2-t+2 $

2) Berechnen der Nullstellen des char. Polynoms, also der Eigenwerte

$ t^3-2t^2-t+2=0 \gdw t=1 \vee t=2 \vee t=-1 $

3) Berechnen der Eigenräume zu den entsprechenden Eigenwerten:

3.1) Eigenraum zum Eigenwert t=1:

Hinweis: Mit N ist der Nullraum der Matrix gemeint. Der Nullraum ist das selbe wie der Kern einer Matrix.

$ N(\pmat{5-1&4&16\\6&1-1&14\\0&-3&-4-1})=N(\pmat{4&4&16\\6&0&14\\0&-3&-5})=<\pmat{7\\5\\-3}> $

Bei der Bestimmung des Nullraumes ergibt sich eine Nullzeile. Das muss auch so sein, denn man hat den Eigenwert ja genau so bestimmt, dass die Determinante von A-t*1 genau Null wird, also dass die Matrix nicht invertierbar ist.

3.2) Eigenraum zum Eigenwert t=2:

$ N(\pmat{5-2&4&16\\6&1-2&14\\0&-3&-4-2}=\pmat{3&4&16\\6&-1&14\\0&-3&-6}=<\pmat{8\\6\\-3}> $

3.3) Eigenraum zum Eigenwert t=-1:

$ N(\pmat{5+1&4&16\\6&1+1&14\\0&-3&-4+1})=\pmat{6&4&16\\6&2&14\\0&-3&-3}=<\pmat{2\\1\\-1}> $






Erstellt: Mo 18.02.2008 von Kroni
Letzte Änderung: Mo 18.02.2008 um 23:40 von Kroni
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]