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Flächenbestimmung

Wie bestimme ich die Fläche unter einem Funktionsgraphen im 1. Quadranten?

Der Flächeninhalt unter der Funktion $ f(x)=x^2 $ soll über dem Intervall [a;b] durch Rechtecke approximiert werden.

[link]dynamische Veranschaulichung: bitte $ f(x) = x^2 $ von Hand eingeben.

Sei dazu n die Anzahl der Rechtecke, b die Ober-, a die Untergrenze.
Für Rechtecke gleicher Breite hat jedes Rechteck die Breite $ \frac{b-a}{n} $.
Die Höhe der Rechteckes berechnet sich über $ f\left( \frac{b-a}{n}\cdot i+a\right)=\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2 $,
wobei i mit $ 0\leq i\leq n-1 $ die Nummer des jeweiligen Rechteckes ist.

Folglich beträgt der Flächeninhalt des i-ten Rechteckes $ \frac{b-a}{n}\cdot\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2 $.

Summieren wir über alle Rechtecke, erhalten wir eine Annäherung an den exakten Flächeninhalt unter der Kurve:
$ A\approx \summe_{i=0}^{n-1}{\frac{b-a}{n}\cdot\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2}=\frac{b-a}{n}\cdot\summe_{i=0}^{n-1}{\left(\frac{b-a}{n}\cdot i+a\right) ^2} $

$ =\frac{b-a}{n}\cdot\left( \summe_{i=0}^{n-1}\left( \frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot i^2\right) + \summe_{i=0}^{n-1}\left( 2\cdot\frac{b-a}{n}\cdot a\cdot i\right) + \summe_{i=0}^{n-1} a^2 \right) $

$ =\frac{(b-a)^3}{n^3}\cdot\summe_{i=0}^{n-1} i^2+2\cdot a\cdot\frac{(b-a)^2}{n^2}\cdot\summe_{i=0}^{n-1} i+\frac{b-a}{n}\cdot n\cdot a^2 $

Wegen $ \summe_{i=0}^{n-1} i^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6} $ und $ \summe_{i=0}^{n-1} i=\frac{n(n-1)}{2} $ (Beweis durch Induktion) folgt

$ =\frac{(b-a)^3}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6}+\frac{a\cdot (b-a)^2\cdot (n-1)}{n}+(b-a)\cdot a^2 $

Diesen Term kann man noch weiter vereinfachen.

Will man nun den exakten Flächeninhalt berechnen, muss man die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich gehen lassen. Dadurch werden die Rechtecke beliebig schmal. Dann ergibt sich:

$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{(b-a)^3}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(2n-1)}{6} \right)+\lim_{n\to\infty} \left( \frac{a\cdot (b-a)^2\cdot (n-1)}{n}\right) +(b-a)\cdot a^2 $

$ =\frac{(b-a)^3}{6} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n^2-3n+1}{n^2} \right)+a\cdot (b-a)^2\cdot\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +(b-a)\cdot a^2 $

$ =\frac{(b-a)^3}{6}\cdot\lim_{n\to\infty}\left( 2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2} \right)+a\cdot (b-a)^2+(b-a)\cdot a^2 $

$ =\frac{(b-a)^3}{6}\cdot 2+a\cdot (b-a)^2+(b-a)\cdot a^2 $

$ =\frac{(b-a)^3}{3}+a\cdot (b-a)^2+(b-a)\cdot a^2 $

$ =\frac{(b-a)^3+3\cdot a\cdot (b-a)^2+3\cdot (b-a)\cdot a^2}{3} $

$ =\frac{b^3-3b^2a+3ba^2-a^3+3\cdot a\cdot (b^2-2ba+a^2)+3ba^2-3a^3}{3} $

$ =\frac{b^3-a^3}{3} $

$ =\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3} $.

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 28.10.2006 um 15:42 von informix
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