HalbgruppeDefinition Halbgruppe
(enthalten: Definitionen für assoziative Halbgruppe, kommutative Halbgruppe, Halbgruppen-Homomorphismus, Unterhalbgruppe)
Schule
Universität
Es sei X eine nichtleere Menge. Eine innere Verknüpfung  heißt assoziativ, wenn
gilt für alle  .
Ein Paar  , bestehend aus einer nichtleeren Menge H und einer assoziativen inneren Verknüpfung  auf H, heißt eine Halbgruppe.
Bemerkung
Folgende (und andere) Redewendungen sind üblich:
H zusammen mit ist eine Halbgruppe, oder H ist bezüglich eine Halbgruppe, oder definiert auf H eine Halbgruppenstruktur, wenn gilt:
  ,
 die Verknüpfung  ist assoziativ.
Beispiele
(1)  ,  sind Halbgruppen.
(2) Für eine nichtleere Menge X sind  ,  Halbgruppen.
(3) Ist  , dann ist  zusammen mit der Komposition von Abbildungen  eine Halbgruppe.
Definition (abelsche Halbgruppe)
Eine Halbgruppe  heißt kommutativ oder abelsch, wenn  gilt für alle  .
Definition (Halbgruppen-Homomorphismus)
Sind  und  Halbgruppen, dann ist  ein Halbgruppen-Homomorphismus, wenn
gilt für alle  .
Beispiel
Es ist für eine nichtleere Menge X
![$ f: \begin{array}{ccc} (P(X),\cap) & \to & (P(X),\cup) \\[5pt] A & \mapsto & f(A):=X \setminus A \end{array} $](/teximg/1/7/00392071.png "$ f: \begin{array}{ccc} (P(X),\cap) & \to & (P(X),\cup) \\[5pt] A & \mapsto & f(A):=X \setminus A \end{array} $")
ein Halbgruppen-Homomorphismus.
Definition (Unterhalbgruppe)
Eine nichtleere Teilmenge  eine Halbgruppe heißt Unterhalbgruppe (von H), wenn für alle  auch  in U liegt. Die Restriktion von auf  liefert dann eine innere Komposition auf U, diese ist assoziativ (denn ist bereits assoziativ auf H), d.h. ist eine Halbgruppe.
Beispiele
 ist eine Unterhalbgruppe von .
Quelle: isbn3446130799
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