www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Kreis
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Kreis

Definition

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) die Entfernung r ("Radius") besitzen:

$ K = \{P | |PM| = r\} $  (Umfang) oder $ K = \{P | |PM| \le r\} $ (Kreisfläche)

Dies kann man auch mit Hilfe der Vektorrechnung beschreiben, wenn $ \vec{m} $ der Ortsvektor des Mittelpunkts M ist:

$ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 $

in Koordinaten ausgedrückt:

$ (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2=r^2 $



Umfang des Kreises

$ U_{Kr} = 2 \pi r $

Flächeninhalte


Kreis

$ A_{Kr} = \pi r^2 \cdot{} $

Kreissegment

Durch eine Sekante abgetrennter Teil eines Kreises
$ A \, = \frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right) $
Siehe auch Wikipedia: Kreissegment

Kreissektor

Durch zwei Radien  begrenzter Teil eines Kreises ("Kuchenstück")
$ A \, = \, \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2 \cdot \pi = \frac{1}{2} b \cdot r $
Siehe auch Wikipedia: Kreissektor

Berechnung von Kreistangenten


Aufgabe

Gegeben ist der Kreis K mit $ \left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2 $, der von der Geraden x = c mit $ \left|c\right|<r $ in den Punkten $ P_1 $ und $ P_2 $ geschnitten wird. Man bestimme die Kreistangenten $ f_{1;2} $ für $ P_1 $ und $ P_2 $.

Lösung

Wir gehen also von der allgemeinen Kreisgleichung eines Kreises K mit Mittelpunkt $ \left(x_M\left|\ y_M\!\right.\right) $ aus: $ \left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2 $ und formen diese nach y um, wodurch wir zwei Funktionen erhalten:

$ \Leftrightarrow \left(y-y_M\right)^2 = r^2-\left(x-x_M\right)^2\Rightarrow y-y_M = \pm\sqrt{r^2-\left(x-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow y=y_M\pm\sqrt{r^2-\left(x-x_M\right)^2}. $

Angenommen eine senkrechte Gerade x=c schneidet K in den Punkten

$ P_{1;2}:=\left(c\left|\ y_M\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}\right.\right). $

Bilden der Ableitungen

$ y'\left(c\right) = \pm\frac{x_M-c}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}} $

und Einsetzen von $ P_{1;2} $ zusammen mit diesen Ableitungen in die allgemeine Geradengleichung f(x):=ax+b ergibt:

$ y_M\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}=\pm\frac{x_Mc-c^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}+b $

$ \Leftrightarrow\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}y_M+r^2-\left(c-x_M\right)^2=x_Mc-c^2\pm b\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow\pm\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}y_M+r^2 + x_Mc - x_M^2=\pm b\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2} $

$ \Leftrightarrow b = y_M\pm\frac{r^2+x_Mc-x_M^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}. $

Allgemein erhalten wir also für die Kreistangenten in $ P_{1;2} $:

$ f_{1;2}(x)= \pm\frac{x_Mx-cx}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}+y_M\pm\frac{r^2+x_Mc-x_M^2}{\sqrt{r^2-\left(c-x_M\right)^2}}. $

Erstellt: Di 03.06.2008 von ardik
Letzte Änderung: Fr 10.09.2010 um 16:01 von Karl_Pech
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]