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LHospitalscheRegel

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LHospitalscheRegel

Satz L'Hospitalsche Regeln

1. Regel (Typ " $\bruch{0}{0}$ ")
Die Funktionen seien stetig auf und differenzierbar auf .
Es sei $g'(x)\ne0$ für alle $x\in]a,b[$ ,

Gilt nun und mit $c\in]a,b[$ und existiert $\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ .

Diese Regel gilt übrigens auch für $c=\pm\infty$ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals zu $]-\infty,b[$ bzw. $]-\infty,\infty[$ bzw. $]-\infty,\infty[=\IR$ )

2. Regel (Typ " $\bruch{\infty}{\infty}$ ")
Die Funktionen seien differenzierbar auf .
Es sei $f(x),g(x),g'(x)\ne0$ für alle $x\in]a,b[$ .

Gilt nun $\limes_{x\to c}f(x)=\limes_{x\to c}g(x)=\pm\infty$ mit $c\in]a,b[$ und existiert $\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ .

Diese Regel gilt übrigens auch für $c=\pm\infty$ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals zu $]-\infty,b[$ bzw. $]-\infty,\infty[$ bzw. $]-\infty,\infty[=\IR$ )

Zusammenfassung
1.
a) $f(c)=g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (Regel 1)
b) $\limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (Regel 1)
2.
a) $\limes_{x\to c}f(c)=\limes_{x\to c}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (Regel 2)
b) $\limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}$ (Regel 2)

Bemerkungen.

Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen in der Nähe" einer Stelle durch ihre Tangenten annähern lassen.

Ist (im Standardfall") $\lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0}g(x) = 0$ , so lauten die Tangentengleichungen $y=f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)$ und $y=g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)$ . Ihr Quotient $\frac{f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}{g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}\,=\,\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$ ist also eine Näherung für $\frac{f(x_0)}{g(x_0)}$ .

Beispiele.

1.

Es sei $f\,$ stetig differenzierbar in einer Umgebung von $x_0\,.$ Dann liefert die Anwendung von der Regel von de l'Hôpital bei $\lim_{x \to 0}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}$ nichts anderes als

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0+x)\cdot{}1}{1}=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)=f'(x_0),$

wobei die letzte Gleichheit wegen der Stetigkeit(!) von $f\,'$ (!!) in gilt.

Dieses Beispiel wirkt zwar trivial, aber es wird deswegen aufgeführt, weil die Regel von de l'Hôpital oft auch angewendet wird, obwohl man auch ohne sie auskäme. (Der Sinn dieses Beispiels liegt also tatsächlich darin, sich klarzumachen, ob ein gesuchter Grenzwert sich vielleicht nicht auf anderem Wege - hier: mithilfe der Definition der Ableitung an einer Stelle - direkt ergibt).

Wir führen ein Standardbeispiel auf, wo man sogar ohne de l'Hôpital den gesuchten Grenzwert direkt per Definitionem der Ableitung berechnen kann. In der Literatur gängig aufgeführt wird die Berechnung von

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,,$

welche mit de l'Hôpital und der Stetigkeit von $\cos$ in $0\,$ aus

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}=\cos(0)=1$

folgt. Dabei kann man dies mit direkt aus

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x_0+x)-\sin(x_0)}{x}=\sin'(x_0)=\cos(x_0)$

erkennen - wegen $\sin(0)=0$ ist nämlich

$1=\cos(0)=\sin'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{\sin(0+x)-\sin(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}.$

Bemerkung:

Man beachte, dass die Differenzierbarkeit von $f\,$ in auch die Stetigkeit von $f\,$ in zur Folge hat, so dass $f(x_0+x)-f(x_0) \to 0$ bei $x \to 0$ gilt.

2.

Wenn man *nur* weiß, dass $f\,$ stetig in ist, dass $f\,$ differenzierbar in einer Umgebung von ohne ist und zudem sei die Differenzierbarkeitsfrage in selbst nicht geklärt, so gilt:
Falls

$g:=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)$