LagrangeSatz von Lagrange
Sei G eine endliche Gruppe und . Dann gilt:
mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:
.
Beweis
T Linkstransversale von U in G und .
Wegen |tU|=|U| folgt:
,
denn .
Korollar (Kleiner Satz von Fermat)
Sei nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt: .
(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in hat Ordnung p-1.)
Verallgemeinerung des Satzes
Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit , dann gilt
.
Beweis
Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:
.
Anwendung
Sei die symmetrische Gruppe, wobei
, , ,
, , .
Es ist ord(id)=1, und .
Wir bestimmen nun alle Untergruppen von .
Wegen hat höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen bzw. haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:
, und
Wegen ist . Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein , oder und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.
Literatur
isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013
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