www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Quotientenkriterium
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Quotientenkriterium

Satz Quotientenkriterium


Universität


Voraussetzungen und Behauptung


Bemerkungen.


Beispiele.

Nun ein paar Beispiele zum Quotientenkriterium:

1) Gegeben sei die Reihe $ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} $

Wir wollen also nachweisen, dass dieses Reihe absolut konvergiert.

Lösung:

Existiert ein $ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $

dann konvergiert die Reihe
$ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}=\begin{cases} absolut, & \mbox{für } q<1 \\ divergiert, & \mbox{für } q>1 \end{cases} $

Nun wird eingesetzt und ein wenig gerechnet:

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(n+1)!\cdot n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot n!}\right| $

ich habe also den Doppelbruch vereinfacht.

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n!\cdot(n+1)\cdot n^n}{(n+1)^n\cdot (n+1)\cdot n!}\right| $

Bemerkung:
Es gilt: $ (n+1)!=n!\cdot (n+1) $

Nun kann man ein wenig kürzen und erhält:

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n^n}{(n+1)^n}\right|=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n $

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n\cdot (1+\frac{1}{n})}\right)^n=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{ 1+\frac{1}{n}}\right)^n $

$ q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\right) $

Nun weiß man aus der Vorlesung das folgendes gilt:

$ \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e $

$ \Rightarrow q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{e}\right) $

Wir haben also $ q:=\frac{1}{e}<1 $

$ \Rightarrow $ Die Reihe $ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} $ ist absolut konvergent

Ich werde nach und nach weitere Beispiele hinzufügen.



Beweis.


Erstellt: Di 21.12.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mo 10.12.2007 um 19:56 von crashby
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]