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Teleskopverknüpfung
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Teleskopverknüpfung

Es sei $ (G, \circ) $ eine abelsche Gruppe - dabei sei $ e \in G $ das neutrale Element und $ a^{-1} \in G $ das zu $ a \in G $ inverse Element: $ a^{-1}\circ a=a \circ a^{-1}=e $. Für Elemente $ a_1,\ldots,a_k, a_{k+1},\ldots \in G $ definieren wir für $ n \in \IN $

   $ \bigcirc_{k=1}^n a_k=a_1 \circ a_2 \circ ... \circ a_n, $

wobei hier wegen der Assoziativität auf Klammern rechterhand verzichtet wurde. Wegen der Kommutativität gilt ferner

   $ \bigcirc_{k=1}^n a_k=a_{\phi(1)} \circ a_{\phi(2)} \circ ... \circ a_{\phi(n)} $

für jede Bijektion $ \phi \colon \{1,...,n\} \to \{1,...,n\}. $ (Grob: Bei "endlichen" Verknüpfungsgebilden darf "Reihenfolge" vertauscht werden.)

Unter einer Teleskopverknüpfung versteht man einen Term der Form

  $ V_n:=\bigcirc_{k=1}^n (a_{k+1} \circ (a_k)^{-1}), $

Es gilt

   $ V_n=\bigcirc_{k=1}^n (a_{k+1} \circ (a_k)^{-1})=...=(a_{n+1} \circ {a_n}^{-1}) \circ (a_{n} \circ {a_{n-1}}^{-1}) \circ ... (a_3 \circ {a_2}^{-1}) \circ (a_2 \circ {a_1}^{-1})=a_{n+1} \circ {a_1}^{-1}. $

(Siehe auch: Teleskopsumme.)

Erstellt: So 09.02.2014 von Marcel
Letzte Änderung: So 09.02.2014 um 22:10 von Marcel
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