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Matrizen invertieren

Um zu einer gegebenen Matrix A die inverse Matrix $ A^{-1} $ zu finden,
löst man die Matrizengleichung $ A * X = E $.
Dabei ist $ E $ die Einheitsmatrix, die auf der Diagonalen 1 stehen hat und auf den anderen Plätzen 0:
$ (a_{i,j}) = 1 $ falls i=j, sonst $ (a_{i,j}) = 0 $.
X ist dann die inverse Matrix, die man mit $ A^{-1} $ bezeichnet.


Beispiel

Links die Ausgangsmatrix, rechts die Einheitsmatrix, und durch Zeilenumformungen links die Einheitsmatrix erzeugen, wobei rechts alle Schritte genau gleich mitgerechnet werden. In der Praxis, auf Papier, schreibt man allerdings die Matrixklammern nicht, sondern trennt die beiden Zahlenreihen einfach durch einen senkrechten Strich.

$ \begin{pmatrix}1&3&-1\\-2&-1&4\\-1&0&2\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} $

Jetzt kann man doch einfach das Doppelte der ersten Zeile zur zweiten addieren, und dann auch noch die erste Zeile zur dritten:

$ \begin{pmatrix}1&3&-1\\0&5&2\\0&3&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}1&0&0\\2&10\\1&0&1\end{pmatrix} $

Um Brüche zu vermeiden, ist es vielleicht geschickt, zuerst die dritte Spalte zu bereinigen: addiere die dritte Zeile zur ersten, und auch das (-2)-fache der dritten Zeile zur zweiten:

$ \begin{pmatrix}1&6&0\\0&-1&0\\0&3&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&-2\\1&0&1\end{pmatrix} $

Jetzt noch das 6-fache der zweiten Zeile zur ersten addiert, das 3-fache der zweiten Zeile zur dritten:

$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&6&-11\\0&1&-2\\1&3&-5\end{pmatrix} $

Jetzt nur noch die mittlere Zeile mit (-1) multiplizieren:

$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\,\,\begin{pmatrix}2&6&-11\\0&-1&2\\1&3&-5\end{pmatrix} $

Nun kann man rechts die invertierte Matrix ablesen.

siehe auch: [link]Wikipedia

Erstellt: Di 30.11.2004 von informix
Letzte Änderung: Sa 06.11.2010 um 14:29 von M.Rex
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