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konvex
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konvex

Schule

Definition konvex

Als konvex (lat.: convexus gewölbt, gerundet) bezeichnet man u. a. in der Mathematik und in der Optik Formen (Flächenteile, Linien), die nach außen gewölbt sind.

Gegenteil zu konkav

siehe Wikipedia


Definition konvexe Funktion


Universität

Definition konvexe Funktion

Es sei $ D\subseteq \IR $ oder $ D\subseteq V $, V Vektorraum.
Eine Funktion $ f: D\to\IR $ heißt konvex, wenn für alle $ x,y\in D $ mit $ x\not= y $ gilt:
$ f\left(\bruch{x+y}{2}\right)\le \bruch{f(x)+f(y)}{2} $
Die Funktion heißt streng konvex, wenn sogar "<" in obiger Ungleichung gilt.


Beispiele für konvexe Funktionen

1) $ f:\IR\to\IR $, $ f(x)=x^2 $: streng konvex


Sätze über konvexe Funktionen


Lemma.

Dann gilt:

  • $ q $ konvex auf $ I $ $ \gdw\ S(x,t)\le S(x,y)\le S(t,y)\ \forall x,t,y\in I $ mit $ x<t<y $
Dabei ist $ S(x,y):=\bruch{q(x)-q(y)}{x-y} $

Quelle: isbn3110172364


Satz. ("rechtsseitige Tangenten konvexer Funktionen verlaufen unterhalb des Graphen")

  • $ I\subset\IR $ nichtleeres Intervall
  • $ q: I\to\IR $ Funktion
  • $ q $ ist in jedem inneren Punkt $ x $ von $ I $ rechts- und linksseitig differenzierbar ($ q $ ist daher auf dem Innern $ \mathring{I} $ von $ I $ stetig)
  • $ q_+'(x) $ bezeichne die rechtsseitige Ableitung von $ q $ in $ x\in\mathring{I} $

Dann gilt:

  • $ q_+' $ ist auf $ \mathring{I} $ isoton
  • $ q(y)\ge q(x)+q_+'(x)(y-x) $    ($ x\in\mathring{I}, y\in I $)
    ("die rechtsseitige Tangente im Punkt $ (x,q(x)) $ an den Graphen von $ q $ verläuft unterhalb dieses Graphens")

Quelle: isbn3110172364


Definition konvexe Menge


Universität

Erstellt: So 21.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 30.09.2008 um 22:23 von informix
Weitere Autoren: Frusciante
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