3x3 Matrix:Eigenwertbestimmung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich sollte bei einer 3x3 Matrix die Eigenwerte (mittels Laplace) bestimmen. Dann steht bei mir am Ende...
Lambda² * (-Lambda+3) = 0
Ergebnis soll Lamda = 0 v 3 sein. Zudem sei 0 ein doppelter Eigenwert. Das mit dem doppelten EW hab ich noch nicht verstanden. Und wie bestimmt man nach dieser letzten Zeile die beiden EW? Einfach 0 und die Zahl die noch in der klammer steht?
Danke im Voraus.
Bald bin ich schlau... :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 14.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren 0 ist also [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] -\lambda+3=0
[/mm]
so wie die Parabel [mm] y=x^2 [/mm] bei 0 eine doppelte Nst hat. spricht man immer bei [mm] (x-a)^2=0 [/mm] von doppelter Nst.
Vorstellung, ne Parabel etwa [mm] y=x^2-a^2 [/mm] hat immer die 2 Nst [mm] \pm [/mm] a nur bei a=0 nur eine, die zählt doppelt.
[mm] (x-a)^4 [/mm] hat übrigens ne 4 fache Nullstelle bei x=a
Gruss leduart
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 3}
[/mm]
Ich soll die Eigenwerte bestimmen |
[mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 & 1\\ 2 & 1-\lambda & -1\\ 1 & -1 & 3-\lambda}
[/mm]
= [mm] (1-\Lambda) \vmat{ 1-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda } [/mm] - 2 [mm] \vmat{ 2 & 1 \\ -1 & 3-\lambda } [/mm] + 1 [mm] \vmat{ 2 & 1 \\ 1-\lambda & -1 }
[/mm]
= [mm] (1-\lambda) [(1-\lambda) [/mm] * [mm] (3-\lambda) [/mm] -1 ] - 2 [mm] [2*(3-\lambda) [/mm] +1] +1 [mm] [-2-1*(1-\lambda)
[/mm]
= [mm] \lambda² [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] + 2 - [mm] \lambda³ [/mm] + [mm] 4\lambda² [/mm] - [mm] 2\Lambda [/mm] - 14 + [mm] 2\lambda [/mm] - 3 + [mm] \lambda
[/mm]
= [mm] -\lambda³ [/mm] + [mm] 5\lambda² [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm] - 15
= [mm] -\lambda [/mm] * [mm] (\lambda² [/mm] + [mm] 5\lambda [/mm] - 3)
Wie komm ich jetzt weiter, dass ich die Eigenwerte herausbekomme? Einfach [mm] \lambda_{1}=0? [/mm] und die anderen mit der pq formel?
Wenn ich die Eigenwerte habe, wie fahre ich fort, um die Eigenvektoren und damit die Eigenräume zu bestimmen.
Dankeschön.
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Hallo ElDennito,
> Gegeben sei folgende Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 3}[/mm]
>
> Ich soll die Eigenwerte bestimmen
> [mm]\pmat{ 1-\lambda & 2 & 1\\ 2 & 1-\lambda & -1\\ 1 & -1 & 3-\lambda}[/mm]
>
> = [mm](1-\Lambda) \vmat{ 1-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda }[/mm] - 2
> [mm]\vmat{ 2 & 1 \\ -1 & 3-\lambda }[/mm] + 1 [mm]\vmat{ 2 & 1 \\ 1-\lambda & -1 }[/mm]
>
> = [mm](1-\lambda) [(1-\lambda)[/mm] * [mm](3-\lambda)[/mm] -1 ] - 2
> [mm][2*(3-\lambda)[/mm] +1] +1 [mm][-2-1*(1-\lambda)[/mm]
>
> = [mm]\lambda²[/mm] - [mm]4\lambda[/mm] + 2 - [mm]\lambda³[/mm] + [mm]4\lambda²[/mm] - [mm]2\Lambda[/mm]
> - 14 + [mm]2\lambda[/mm] - 3 + [mm]\lambda[/mm]
>
> = [mm]-\lambda³[/mm] + [mm]5\lambda²[/mm] - [mm]3\lambda[/mm] - 15
>
> = [mm]-\lambda[/mm] * [mm](\lambda²[/mm] + [mm]5\lambda[/mm] - 3)
>
> Wie komm ich jetzt weiter, dass ich die Eigenwerte
> herausbekomme? Einfach [mm]\lambda_{1}=0?[/mm] und die anderen mit
> der pq formel?
Ja.
>
> Wenn ich die Eigenwerte habe, wie fahre ich fort, um die
> Eigenvektoren und damit die Eigenräume zu bestimmen.
>
> Dankeschön.
Gruß
MathePower
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Ich danke euch beiden für die Antworten. :)
Eine Frage bzgl der Eigenwerte:
-> Berechnen der Nullstellen des char. Polynoms, also der Eigenwerte
$ [mm] t^3-2t^2-t+2=0 \gdw [/mm] t=1 [mm] \vee [/mm] t=2 [mm] \vee [/mm] t=-1 $
Wie kommt man auf diese Eigenwerte?
Ich hätte hier erstmal t ausgeklammert, damit ich eine quadratische Gleichung habe und die pq formel anwenden könnte.
Wie kommt man auf t=1 t=2 und t=-1?
Danke im Voraus.
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Hallo ElDennito,
vorab noch ne kurze Anmerkung zu deinem ersten post, den MathePower so "abgesegnet" hat.
Da ist deine letzte Umformung nicht ok:
Du hattest das charakt. Polynom richtig berechnet bis hierher:
[mm] $cp(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2-2\lambda-15$
[/mm]
Dann hast du verbotenerweise  [mm] $-\lambda$ [/mm] ausgeklammert
Das Problem der Nullstellenbestimmung des charakt. Poylnoms in deinem ersten post ist genau dieselbe wie hier.
Wenn du ein Polynom dritten Grades hast, so musst du eine NST [mm] $\lambda_1$ [/mm] "raten" und dann mit Polynomdivision den Linearfaktor [mm] $(\lambda-\lambda_1)$ [/mm] abspalten und so das Polynom runterschrauben auf den Grad 2, so dass du die p/q-Formel oder was auch immer an Standardlösungsverfahren für Gleichungen 2.Grades hernehmen kannst
Es gibt einen kleinen "Trick", um NST zu raten.
Wenn ein Polynom eine ganzzahlige Nullstelle hat, so ist diese ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes (das ohne [mm] \lambda) [/mm]
Hier in deinem Fall hast du das Polynom [mm] $t^3-2t^2-t+2$
[/mm]
Hier kannst du nicht t ausklammern, wie du vorgeschlagen hast. Das steckt ja in der 2 gar nicht drin - gleicher Fehler wie im 1. post
Du willst also die Nullstellen bestimmen:
Das Absolutglied ist 2, wenn es also eine ganzzahlige NST gibt, so ist sie ganzzahliger Teiler von 2
2 hat als ganzzahlige Teiler: [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2
Damit musst du nun probieren (durch Einsetzen), ob eine davon "passt"
Falls ja, kannst du lecker ne Polynomdivision machen usw.
Falls es aber keine ganzzahligen NST gibt, bist du "gekniffen".
Dann hilft meist nur ein Näherungsverfahren, wie zB das Newtonverfahren
PS: Es gibt wohl auch ein Kriterium für rationale NST, an das ich mich aber leider gerade nicht erinnern kann :-(
Also: testen, Polynomdivision, p/q-Formel
Hilft's etwas?
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hallo,
vielen Dank für deine Mühe.
Ok, dass man bei einem Polynom dritten Grades das t nicht ausklammern darf, weiß ich (zum Glück) jetzt. Hat mich auch vorhin beim Rechnen schon gewundert, was wohl mit der "2" passiere.
2 ist also das Absolutglied in diesem Fall. [Hab ich immer ein Absolutglied? Was ist, wenn sich die Zahl aufhebt. Also quasi 0 rauskommt?]
Eine NST muss also Teiler von 2 sein. Wie du gesagt hast entweder +-1, +-2.
Was ich nicht verstehe, ist der (und wohl auch der wichtige) Punkt:
>>>Damit musst du nun probieren (durch Einsetzen), ob eine davon "passt"
Falls ja, kannst du lecker ne Polynomdivision machen usw. <<<<<
Wann weiß ich, wenn eine passt?
Setz ich 1 für t ein, so bleibt die 2 übrig. Reicht das? Oder wie meinst du das?
Ich verstehe nicht, wie man hierbei eine Polynomdivision machen kann? Kannst du mir da weiterhelfen? :-(
Danke aufjeden Fall schonmal.
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Mühe.
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> Ok, dass man bei einem Polynom dritten Grades das t nicht
> ausklammern darf, weiß ich (zum Glück) jetzt. Hat mich auch
> vorhin beim Rechnen schon gewundert, was wohl mit der "2"
> passiere.
>
> 2 ist also das Absolutglied in diesem Fall. [Hab ich immer
> ein Absolutglied?
Nein, Bsp: [mm] $p(x)=3x^3+2x+x$
[/mm]
> Was ist, wenn sich die Zahl aufhebt. Also
> quasi 0 rauskommt?]
Was meinst du damit genau? Dass es kein Absolutglied gibt?
Dann kannst du doch immer ein x (oder [mm] \lambda [/mm] oder wie immer die Variable heißt) ausklammern und hast automatisch 0 als NST
>
> Eine NST muss also Teiler von 2 sein. Wie du gesagt hast
> entweder +-1, +-2.
>
> Was ich nicht verstehe, ist der (und wohl auch der
> wichtige) Punkt:
>
> >>>Damit musst du nun probieren (durch Einsetzen), ob eine
> davon "passt"
>
> Falls ja, kannst du lecker ne Polynomdivision machen usw.
> <<<<<
>
> Wann weiß ich, wenn eine passt?
> Setz ich 1 für t ein, so bleibt die 2 übrig. Reicht das?
> Oder wie meinst du das?
?? Was suchen wir denn?
NULLSTELLEN
Also gucken, ob [mm] $p(\text{einer der ganzzahligen Teiler})=0$ [/mm] ergibt
>
> Ich verstehe nicht, wie man hierbei eine Polynomdivision
> machen kann? Kannst du mir da weiterhelfen? :-(
Nehmen wir dein letztes Bsp-
Das Polynom ist [mm] $p(t)=t^3-2t^2-t+2$
[/mm]
Wir testen also die Zahlen [mm] $\pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2$
(1) [mm] $p(1)=1^3-2\cdot{}1^2-1+2=1-2-1+2=0$
[/mm]
Ha, da haben wir beim 1. Versuch schon eine NST [mm] $t_0=1$ [/mm] gefunden
Also können wir per Polynomdivision den Linearfaktor [mm] $(t-t_0)=(t-1)$ [/mm] abspalten und das Polynom um 1 Grad runterschrauben:
$p(t):(t-1)$ müssen wir berechnen:
$ [mm] (t^3-2t^2-t+2):(t-1)=t^2-t-2$
[/mm]
[mm] $-\underline{(t^3-t^2)}$
[/mm]
$ [mm] -t^2-t$
[/mm]
[mm] $-\underline{(-t^2+t)}$
[/mm]
$ -2t+2$
$ [mm] -\underline{(-2t+2)}$
[/mm]
$ \ \ \ \ \ 0 $
Hmm, ich kriege die Formatierung nicht besser hin ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nun die weiteren NST des Polynoms [mm] $t^2-t-2$ [/mm] bestimmen...
> Danke aufjeden Fall schonmal.
Jo
LG
schachuzipus
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Wow! Dankesehr.
Also haben wir nun die Eigenwerte bestimmt:
$ [mm] t^3-2t^2-t+2=0 \gdw [/mm] t=1 [mm] \vee [/mm] t=2 [mm] \vee [/mm] t=-1 $
Ich habe nun nachgelesen, dass der Eigenraum folgendes sein soll:
3.1) Eigenraum zum Eigenwert t=1:
$ [mm] N(\pmat{5-1&4&16\\6&1-1&14\\0&-3&-4-1})=N(\pmat{4&4&16\\6&0&14\\0&-3&-5})=<\pmat{7\\5\\-3}> [/mm] $
Wie man N ermittelt ist mir klar. Aber wie kommt man dann zum endgültigen Eigenraum bzw vektor?
Fragen über Fragen...
Dennoch schonmal tausend Dank!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich verstehe nicht ganz?
Du sagst, du weißt, wie du $N(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3})$ ermitteln musst.
Das "N" ist übrigens eine eher merkwürdige Bezeichnung, langläufig besser bekannt unter dem Namen "Kern"
Du musst also den $Kern(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3)$ bestimmen.
Was das ist, weißt du hoffentlich, sonst schlage es bitte nach, das ist mehr als wichtig zu wissen !!
Es läuft also darauf hinaus, ein homogenes LGS zu lösen, dessen Lösungsmenge wohl als Basis deinen angegebenen Vektor $\vektor{7\\5\\-3}$ hat (hab's nicht nachgerechnet)
Folglich ist der Lösungsraum (=Kern) der Spann dieses Basisvektors, also $\langle\vektor{7\\5\\-3}\rangle$
Also nun bist du am Zuge, schaue nach, was der Kern ist und mache dich an die Lösung des LGS
Das ist keine allzu wilde Rechnenrei, poste dann mal deine Versuche/Lösung, dann sehen wir weiter, ok?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das "N" kommt vom Nullraum der Matrix. So habe ich das das Semester über gelernt...Aber stimmt schon, in der meisten Fachlektüre heißt es auch "Kern". Danke für den Hinweis.
LG
Kroni
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Ohje, wollt eigentlich schon längst schlafen, aber die Aufgabe lässt mir keine Ruhe...
Die Lösung für den ersten Eigenwert lautet:
3.1) Eigenraum zum Eigenwert t=1:
$ [mm] N(\pmat{5-1&4&16\\6&1-1&14\\0&-3&-4-1})=N(\pmat{4&4&16\\6&0&14\\0&-3&-5})=<\pmat{7\\5\\-3}> [/mm] $
Nun versuch ich erstmal alles festzuhalten, damit ich es mir besser vorstellen kann.
- Man hat also demnach det(A-t*E) genommen
- Und folgend für t den ersten Eigenwert eingesetzt. hier: 1
- Nun hat man nach dem Einsetzen von t=1 etwas gerechnet. (u.a. 5-1=4 usw)
- bis hierhin ist mir alles klar. (ich dachte vorhin, dass hier sei N....falsch gedacht :P )
Soweit ich mich jetzt hier reingelesen hab, wird nun folgendes gemacht:
- Es wird nun das Gaußverfahren angewendet.
Nach meinen (nicht immer richtigen :D) Rechnungen kommt raus:
[mm] \pmat{ 4 & 4 & 16 \\ 0 & 12 & 20 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
(BTW: Determinante = 1)
- Nun stellt man eine LSG auf und setzt frei [mm] x_2={t}
[/mm]
- Setzt in die zweite Gleichung ein. Dann steht da:
12*t + [mm] 20*x_{3} [/mm] = 0
=> [mm] x_3= \bruch{5}{3*t}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig? Ich hab halt erstmal (12*t) auf die andere Seite gebracht, also dividiert. Dass rechts ein Bruch steht [mm] \bruch{1}{12*t}. [/mm] Links steht noch [mm] 20*x_{3}. [/mm] Nun auch durch 20 dividiert...Kehrwert -> oben genannter Bruch multipliziert mal [mm] \bruch{20}{1}. [/mm] Ist das richtig gerechnet oder hab ich zur später Stund einen Fehler gemacht?
Bis hierhin erstmal danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
> Ohje, wollt eigentlich schon längst schlafen, aber die
> Aufgabe lässt mir keine Ruhe...
Hi,
>
> Die Lösung für den ersten Eigenwert lautet:
> 3.1) Eigenraum zum Eigenwert t=1:
>
> [mm]N(\pmat{5-1&4&16\\6&1-1&14\\0&-3&-4-1})=N(\pmat{4&4&16\\6&0&14\\0&-3&-5})=<\pmat{7\\5\\-3}>[/mm]
>
> Nun versuch ich erstmal alles festzuhalten, damit ich es
> mir besser vorstellen kann.
>
> - Man hat also demnach det(A-t*E) genommen
> - Und folgend für t den ersten Eigenwert eingesetzt. hier:
> 1
> - Nun hat man nach dem Einsetzen von t=1 etwas gerechnet.
> (u.a. 5-1=4 usw)
Korrekt. Du ziehst von allen Elementen, die auf der Hauptdiagonalen steht die 1 ab.
> - bis hierhin ist mir alles klar. (ich dachte vorhin, dass
> hier sei N....falsch gedacht :P )
Nein, mit N ist der Nullraum, auch Kern genannt, gemeint. Das sind alle Vektoren, die das Gleichungssystem Ax=0.
>
> Soweit ich mich jetzt hier reingelesen hab, wird nun
> folgendes gemacht:
>
> - Es wird nun das Gaußverfahren angewendet.
> Nach meinen (nicht immer richtigen :D) Rechnungen kommt
> raus:
>
> [mm]\pmat{ 4 & 4 & 16 \\ 0 & 12 & 20 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
Das stimmt.
> (BTW: Determinante = 1)
Das stimmt nicht. Wenn die Determinante gleich 1 wäre, dann wäre die Matrix insbesondere invertierbar. Das ist sie aber nicht, da [mm] $rk(A)=2\not=3$
[/mm]
>
> - Nun stellt man eine LSG auf und setzt frei [mm]x_2={t}[/mm]
> - Setzt in die zweite Gleichung ein. Dann steht da:
>
> 12*t + [mm]20*x_{3}[/mm] = 0
> => [mm]x_3= \bruch{5}{3*t}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig? Ich hab halt erstmal (12*t)
> auf die andere Seite gebracht, also dividiert. Dass rechts
> ein Bruch steht [mm]\bruch{1}{12*t}.[/mm] Links steht noch [mm]20*x_{3}.[/mm]
> Nun auch durch 20 dividiert...Kehrwert -> oben genannter
> Bruch multipliziert mal [mm]\bruch{20}{1}.[/mm] Ist das richtig
> gerechnet oder hab ich zur später Stund einen Fehler
> gemacht?
>
Ich würde das ganze erstmal auf reduzierte Zielenstufenform bringen, und dann ein LGS daraus machen umd die allgemeine Lösung herauszubekommen. Dann bekommst du so etwas raus wie [mm] $\pmat{-7/3\\-5/3\\1}$ [/mm] und daraus kannst du dann noch einen Skalar rausziehen, so dass du dann meine gepostete Lösung herausbekommst.
LG
Kroni
> Bis hierhin erstmal danke!
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Ich meinte auch nicht Determinante, sondern Dimension...mea culpa.
Sry, wenn ich so naiv frage (und das nicht zum ersten Mal): Was ist eine reduzierte Zielenstufenform? Könntest du deine Schritte angeben?
War die von mir angefangende Lösung nicht falsch, sondern umständlich?
Gute Nacht :)
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Hallo ElD.,
> Ich meinte auch nicht Determinante, sondern Dimension...mea
> culpa.
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> Sry, wenn ich so naiv frage (und das nicht zum ersten Mal):
> Was ist eine reduzierte Zielenstufenform? Könntest du deine
> Schritte angeben?
Die führende Zahl in einer Zeile, die nicht Nullzeile ist, ist ne 1
Von deiner letzten Matrix aus: [mm] \frac{1}{4}\cdot{}\text{Zeile1} [/mm] und [mm] \frac{1}{12}\cdot{}\text{Zeile2}
[/mm]
>
> War die von mir angefangende Lösung nicht falsch, sondern
> umständlich?
Du kannst deine (richtige) Matrix natürlich so lassen, dein Lösungsansatz ist auch ok, also [mm] x_2:=t [/mm] zu setzen, dann hast du dich aber verrechnet
Mit Zeile 2 ist doch: [mm] $12\cdot{}x_2+20\cdot{}x_3=0$, [/mm] also [mm] $12\cdot{}t=-20\cdot{}x_3$, [/mm] damit also [mm] $x_3=-\frac{12}{20}t=-\frac{3}{5}t$
[/mm]
Damit kannst du nun [mm] x_1 [/mm] ausrechnen und solltest auf dieselbe Lösung wie in der Musterlösung kommen (evtl auf ein Vielfaches) - also denselben Spann
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
> Gute Nacht :)
>
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Hi,
um [mm] x_1 [/mm] herauszubekommen, muss man also die ermittelten [mm] x_2={t} [/mm] und [mm] x_3=-\bruch{3}{5}t [/mm] in die erste Gleichung einsetzen.
Also:
[mm] 4*x_1 [/mm] + t - [mm] \bruch{3}{5}t [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{5}t
[/mm]
Nach der Lösung kommt da 7 heraus. Wo liegt mein Fehler?
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> Hi,
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> um [mm]x_1[/mm] herauszubekommen, muss man also die ermittelten
> [mm]x_2={t}[/mm] und [mm]x_3=-\bruch{3}{5}t[/mm] in die erste Gleichung
> einsetzen.
> Also:
>
> [mm]4*x_1[/mm] + t - [mm]\bruch{3}{5}t[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{8}{5}t[/mm]
>
> Nach der Lösung kommt da 7 heraus. Wo liegt mein Fehler?
Hallo,
Deine Matrix war doch $ [mm] \pmat{ 4 & 4 & 16 \\ 0 & 12 & 20 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $.
Wählst Du [mm] x_3=t,
[/mm]
so hast Du
[mm] 12x_2=-20x_3=-20t [/mm] ==> [mm] x_2= [/mm] ....
Deine erste Gleichung ist [mm] 4x_1+4x_2+16x_3=0,
[/mm]
hieraus erfährst Du dann [mm] x_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 19.02.2008 | | Autor: | ElDennito |
Danke!
[mm] \IL=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR³ | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{7 \\ 5 \\ -3}\right\}
[/mm]
ist dann der Eigenraum.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 20.02.2008 | | Autor: | crashby |
> Danke!
>
> [mm]\IL=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR³ | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{7 \\ 5 \\ -3}\right\}[/mm]
>
> ist dann der Eigenraum.
hallo das stimmt nicht so. Wie kommst du darauf ?
Wie lauten deine Lösungen für $ [mm] x_1 ,x_2, x_3 [/mm] $ ?
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> Danke!
>
> [mm]\IL=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR³ | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{7 \\ 5 \\ -3}\right\}[/mm]
>
> ist dann der Eigenraum.
Hallo,
Du hast richtig gerechnet, aber eine Kleinigkeit vergessen, wie von crashby andeutet.
Deine obige Menge enthält nur einen einzigen Vektor - und schon gar nicht ist sie ein Vektorraum. Das kann ja nicht sein.
Richtig wäre:
[mm]\IL=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR³ | \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=t\vektor{7 \\ 5 \\ -3}, t \in \IR \right\}[/mm].
Es handelt sich also um den VR, der von dem Vektor [mm] \vektor{7 \\ 5 \\ -3} [/mm] aufgespannt wird, auch geschrieben als [mm] <\vektor{7 \\ 5 \\ -3}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ElDennito |
Man lernt nie aus! :)
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