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| Aufgabe | | Sei [mm] (G,\circ [/mm] ) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass [mm] (G,\circ [/mm] ) genau dann abelsch ist, wenn die Gleichung [mm] (a\circ b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2}\circ b^{2} [/mm] für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt. |
Hallo!
Könntet ihr mal bitte über meine Lösung drüber sehen? Vielen Dank!
Seien a,b [mm] \in [/mm] G. Damit G abelsch ist, muss das Kommutativgesetz zusätzlich gelten. Dieses lautet
(a [mm] \circ [/mm] b) = (b [mm] \circ [/mm] a)
[mm] \gdw [/mm]
a [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] a)
[mm] \gdw [/mm] (2x Assoziativität)
((a [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] b) = ((a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] a)
[mm] \gdw
[/mm]
((a [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] b= ((a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] b
[mm] \gdw [/mm] (Assoziativgesetz)
(a [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] b) = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (a\circ b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2}\circ b^{2}
[/mm]
D.h. die beiden Aussagen sind äquivalent. Ist das wirklich so einfach? Wieso hat man mir als Voraussetzung dann nicht nur eine Halbgruppe gegeben?
Stefan.
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> D.h. die beiden Aussagen sind äquivalent. Ist das wirklich
> so einfach?
Hallo,
ja, das ist es wohl.
> Wieso hat man mir als Voraussetzung dann nicht
> nur eine Halbgruppe gegeben?
Keine Ahnung. Vielleicht gibt's ja noch weitere Teilaufgaben, wo "Gruppe" benötigt wird.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort! Dann lasse ich es so 
Stefan.
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