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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion g mit g(t)=t² mit der Definitionsmenge R. Ihr Graph sei K. Berechnen sie den Punkt P(u/u²) von K, der vom Punkt [mm] Q(0/\bruch{11}{4}) [/mm] den kürzesten Abstand hat. |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen, habe aber vergessen wie das geht. :(
Ich weiß wie man den Abstand zwischen Gerade und Punkt in einem Raum oder Ebene ausrechnet.
Aber hier... keine Ahnung! Wie soll ich hier die Normale zur Gerade aufstellen?!
Vielen Dank
Liebe Grüße
sardelka
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Hallo sardelka,
> Gegeben ist die Funktion g mit g(t)=t² mit der
> Definitionsmenge R. Ihr Graph sei K. Berechnen sie den
> Punkt P(u/u²) von K, der vom Punkt [mm]Q(0/\bruch{11}{4})[/mm] den
> kürzesten Abstand hat.
> Hallo,
>
> ich möchte diese Aufgabe lösen, habe aber vergessen wie das
> geht. :(
> Ich weiß wie man den Abstand zwischen Gerade und Punkt in
> einem Raum oder Ebene ausrechnet.
>
> Aber hier... keine Ahnung! Wie soll ich hier die Normale
> zur Gerade aufstellen?!
Stelle zunächst die Tangentengleichung im Punkt [mm]\left(u|u^{2}\right)[/mm] auf.
Nun gilt für die Steigung der Normalen:
[mm]m_{Tangente}*m_{Normale}=-1[/mm]
Für die Ermittlung der Geradengleichung nimmst Du die Punkt-Steigungs-Form.
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> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
>
> sardelka
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ach ja! Natürlich!)))
Danke, das mit [mm] m_{1}*m_{2}=-1 [/mm] hatte ich gebraucht. :)
Aber jetzt bin ich wieder stecken geblieben. :(
Also ich habe für Tangente: t(t)=2ut-u²
-> die Steigung der Normalen ist dann [mm] m_{2}=\bruch{-1}{2u}
[/mm]
Jetzt setze ich doch 0 und 11/4 in y=mx+b ein, oder?
Dann habe ich: [mm] y=\bruch{-1}{2u}t+\bruch{11}{4}
[/mm]
Ähmm... und jetzt?! :(
Tangentengleichung mit der Normalengleichung gleich setzen?! Bringt mir ja nicht viel....
Vielen Dank
LG
sardelka
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Hallo sardelka,
> Ach ja! Natürlich!)))
> Danke, das mit [mm]m_{1}*m_{2}=-1[/mm] hatte ich gebraucht. :)
>
> Aber jetzt bin ich wieder stecken geblieben. :(
>
> Also ich habe für Tangente: t(t)=2ut-u²
> -> die Steigung der Normalen ist dann
> [mm]m_{2}=\bruch{-1}{2u}[/mm]
>
> Jetzt setze ich doch 0 und 11/4 in y=mx+b ein, oder?
> Dann habe ich: [mm]y=\bruch{-1}{2u}t+\bruch{11}{4}[/mm]
>
> Ähmm... und jetzt?! :(
Den Punkt [mm]\left(0\left|\right \bruch{11}{4}\right)[/mm] setzt Du jetzt
in die Normalengleichung ein und erhältst dann die Unbekannte u.
> Tangentengleichung mit der Normalengleichung gleich
> setzen?! Bringt mir ja nicht viel....
>
>
> Vielen Dank
>
> LG
>
> sardelka
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Also, die Normalengleichung war ja [mm] y=\bruch{-1}{2u}t+\bruch{11}{4}.
[/mm]
Jetzt soll ich da [mm] Q(0/\bruch{11}{4}) [/mm] einsetzen?!
dann ist doch u weg!
Oder ist es auch der Sinn und ich komme einfach nicht drauf?! :D
Nämlich, dass alle Punkte auf der Normalengerade liegen?!
Irgendwie kann ich mir das gerade nicht bildlich vorstellen.
Vielen Dank
LG
sardelka
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Hallo sardelka,
> Also, die Normalengleichung war ja
> [mm]y=\bruch{-1}{2u}t+\bruch{11}{4}.[/mm]
> Jetzt soll ich da [mm]Q(0/\bruch{11}{4})[/mm] einsetzen?!
> dann ist doch u weg!
Offenbar ist die Normalengleichung nicht richtig aufgestellt worden.
Diese muß auch durch den Punkt [mm]\left(u\left|\right u^{2}\right)[/mm] gehen.
Demnach ergibt sich mit der Punkt-Steigungsform:
[mm]\bruch{y-u^{2}}{x-u}=-\bruch{1}{2u}[/mm]
[mm]\gdw y=-\bruch{1}{2u}*\left(x-u\right)+u^{2}[/mm]
Für [mm](x|y)[/mm] setzt Du jetzt hier [mm](0|\bruch{11}{4})[/mm] ein.
Wenn Du die entstehende Gleichung nach u auflöst, erhält Du selbiges.
>
> Oder ist es auch der Sinn und ich komme einfach nicht
> drauf?! :D
> Nämlich, dass alle Punkte auf der Normalengerade liegen?!
> Irgendwie kann ich mir das gerade nicht bildlich
> vorstellen.
>
Alternative ist, den Abstand zu betrachten:
[mm]d\left(u\right)=\wurzel{\left(x-u\right)^{2}+\left(y-u^{2}\right)^{2}}[/mm]
Auch hier setzt Du für [mm](x|y)[/mm] den Punkt [mm](0|\bruch{11}{4})[/mm] ein.
Diese ist dann zu minimieren.
Besser wird hier [mm]d^{2}\left(u\right)[/mm] betrachtet.
Dann wird die weitere Untersuchung einfacher.
>
> Vielen Dank
>
> LG
>
> sardelka
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ah ja, ich habe mein Fehler.
Ich habe angenommen, dass diese Normalengerade auch ducrh Q geht, was ja aber nicht der Fall ist.
Gut, dann hätte ich für [mm] u_{1}=\wurzel{\bruch{13}{4}} [/mm] und [mm] u_{2}=-\wurzel{\bruch{13}{4}}
[/mm]
Dass es 2 Punkte gibt ist auch logisch, weil es ja eine Parabel ist und Q sich auf y-Achse befindet. -> einmal von links, einmal von rechts.
Super. Die y-Werte werde ich ja wohl von alleine hinbekommen :)
Vielen vielen Dank für die Hilfe
Schönen Abend noch
sardelka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 14.01.2009 | | Autor: | sardelka |
Ähm nein, tut mir Leid.
Noch nicht ganz... :(
Denn in der Aufgabe steht: DEN PUNKT P(u/u²)
Also, existiert nur 1 Punkt, der den kürzesten Abstand hat. Da ich aber 2 raus habe, stimmt da etwas nicht.
Oder ist die Aufgabe einfach nicht richtig formuliert?!
Vielen Dank)))
LG
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Hallo sardelka,
> Ähm nein, tut mir Leid.
>
> Noch nicht ganz... :(
>
> Denn in der Aufgabe steht: DEN PUNKT P(u/u²)
> Also, existiert nur 1 Punkt, der den kürzesten Abstand
> hat. Da ich aber 2 raus habe, stimmt da etwas nicht.
Bei einer Parabel gibt es aber 2 Punkte die diese Eigenschaft erfüllen.
Auch wenn man den Abstand minimiert, erhält man 2 Punkte.
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> Oder ist die Aufgabe einfach nicht richtig formuliert?!
Kann sein, daß es da heißen sollte "die Punkte".
>
> Vielen Dank)))
>
> LG
Gruß
MathePower
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