Beweis Form von Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 22.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, dass eine Primzahl p>2 stets von der Form p=4k+1 oder p=4k+3 für k [mm] \in [/mm] No ist.
(b) Finden Sie alle Primzahlen p derart, dass auch [mm] 8p^2 [/mm] +1 eine Primzahl ist. Begründen Sie Ihre Antwort. Hinweis: Betrachten Sie die möglichen Reste von p bei der Division durch 3.
(c) Beweisen Sie: Unter drei beliebigen ganzen Zahlen kann man stets zwei Zahlen finden, deren Summe durch 2 teilbar ist. |
Also bei den ersten beiden Teilaufgaben komme ich auf gar nichts. Wäre sehr dankbar über jegliche Denkanstöße und Tipps.
Bei der (c) habe ich eine Lösung, aber weiß nicht ob ich das so schreiben kann.
Meine Lösung:
1. Betrachten der möglichen Reste bei Division durch 2. Das sind 0 und 1.
2. Wir unterscheiden zwei Fälle,
1. Jeder dieser Reste kommt vor bei den 2 Zahlen. D.h. es gibt eine Zahl die den Rest 0 hat und eine, die den Rest 1 hat.
Die haben die Form 2*q1+0 und 2*q2+1.
Das heißt dann jedoch auch, dass die 3. Zahl auch eine dieser beiden möglichen Formen haben muss.
Bei der Addidtion von 2 Zahlen mit demselben Rest:
2*q1+0 + 2*q2 +0 = 2*(q1q2) und ist durch 2 teilbar
oder 2*q1 +1 + 2*q2 + 1 = 2*(q1q2)+2 und ich durch 2 teilbar.
2. Einer der beiden Reste kommt nicht vor. Es folgt, dass dementsprechend (da es nur 2 mögliche Reste gibt) ein Rest 3 mal vorkommt. Also folgt die selbe Rechnung wie im 1. Fall, was die Fallunterscheidung im Grunde unnötig macht. Jedoch ist somit die Behauptung bewiesen.
Richtig?
Gruß...
Andy
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:05 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Catman |
Nur zur information. Die Frage ist keinesfalls überfällig ...
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Moin,
> (a) Zeigen Sie, dass eine Primzahl p>2 stets von der Form
> p=4k+1 oder p=4k+3 für k [mm]\in[/mm] No ist.
Hilfreicher Thread 1
> (b) Finden Sie alle Primzahlen p derart, dass auch [mm]8p^2[/mm] +1
> eine Primzahl ist. Begründen Sie Ihre Antwort. Hinweis:
> Betrachten Sie die möglichen Reste von p bei der Division durch 3.
Hilfreicher Thread 2
> (c) Beweisen Sie: Unter drei beliebigen ganzen Zahlen kann
> man stets zwei Zahlen finden, deren Summe durch 2 teilbar ist.
>
> Bei der (c) habe ich eine Lösung, aber weiß nicht ob ich
> das so schreiben kann.
>
> Meine Lösung:
>
> 1. Betrachten der möglichen Reste bei Division durch 2.
> Das sind 0 und 1.
>
> 2. Wir unterscheiden zwei Fälle,
> 1. Jeder dieser Reste kommt vor bei den 2 Zahlen. D.h. es
> gibt eine Zahl die den Rest 0 hat und eine, die den Rest 1
> hat.
> Die haben die Form 2*q1+0 und 2*q2+1.
> Das heißt dann jedoch auch, dass die 3. Zahl auch eine
> dieser beiden möglichen Formen haben muss.
> Bei der Addidtion von 2 Zahlen mit demselben Rest:
>
> 2*q1+0 + 2*q2 +0 = 2*(q1q2) und ist durch 2 teilbar
> oder 2*q1 +1 + 2*q2 + 1 = 2*(q1q2)+2 und ich durch 2
> teilbar.
> 2. Einer der beiden Reste kommt nicht vor. Es folgt,
> dass dementsprechend (da es nur 2 mögliche Reste gibt) ein
> Rest 3 mal vorkommt. Also folgt die selbe Rechnung wie im
> 1. Fall, was die Fallunterscheidung im Grunde unnötig
> macht. Jedoch ist somit die Behauptung bewiesen.
Das ist OK.
Kurz argumentiert: Unter den drei Zahlen a,b und c lassen sich mindestens zwei finden, die den gleichen Rest bei Division durch 2 lassen (Schubfachschluss, es gibt nur die möglichen Reste 1 und 0). Die Summe von zwei Zahlen mit gleicher Restklasse mod 2 ist gerade, da beim Rechnen mod 2 gilt [mm] 0+0\equiv1+1\equiv0 [/mm] mod 2.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank für die Antwort und die Hinweise. Bei der 2. Aufgabe also alle Primzahlen finden für die gilt, dass auch [mm] 8*p^2+1 [/mm] eine Primzahl ist, da verstehe ich nicht wirklich was gemacht wird. Also die Rechnung scheint ja fertig zu sein, aber ich verstehe die Grundidee dahinter nicht. Warum betrachtet man die möglichen Reste bei Division durch 3? Könnte mir jemand den Gedankengang hinter der Rechnung erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Do 24.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede zahl , die nicht durch 3 teilbar ist, also alle primzahlen ausser 3 lassen bei division durch 3 den Rest 1 oder 2
wenn p den rest 1 lässt dann [mm] p^2 [/mm] den Rest 1*1=1
wenn pden rest 2 lässt, dann [mm] p1^2 [/mm] den rest 2*2=4 also auch rest 1
[mm] 8p^2 [/mm] lässt dann den rest 8= rest 2 [mm] 8p^2+1 [/mm] lässt also den rest 3 d.h.0 damit ist [mm] 8p^2+1 [/mm] immer durch 3 teilbar, wenn p nicht durch 3 teilbar ist. muss man noch 3 selbst ausprobieren [mm] 8*3^2+1=73 [/mm] Primzahl
also ist 3 die einzige Primzahl für die gilt 8p12+1 ist auch Primzahl.
Wenn du die rechnung noch immer nicht verstehst sag genau, wo du aushkst.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Do 24.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke für die Antwort. Ich kann die Rechnung jetz nachvollziehen. Mein größtes Problem war erstmal zu verstehen was das für einen Sinn macht die Reste bei Division durch 3 zu betrachten. Aber da ihn ja alle Primzahlen hinterlassen müssen scheint es mir jetzt doch logisch zu sein. Vielen Dank.
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