Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 25.10.2009 | | Autor: | R03N3 |
| Aufgabe 1 | Seien a und b reelle Zahlen und n eine natürliche
Zahl. Man beweise: [mm] a^{n}-b^{n}=(a-b)*\summe_{k=0}^{n-1}a^{k}*b^{n-1-k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Man beweise die folgende Aussage für alle
natürlichen Zahlen [mm] n\in\IN: \summe_{k=0}^{2n}(-1)^{k}*k^{2}=2*n^{2}+n [/mm] |
Hallo und schon mal vielen dank für jede Hilfe im vorraus.
Bei Aufgabe 1 und 2 soll man ja einen Beweis durch Induktion hervorbringen und das geschieht ja indem man die Aussage auch für n+1 beweist oder?
Also mein Ansatz bei Aufgabe 1 war:
[mm] (a-b)*\summe_{k=0}^{n-1}a^{k}*b^{n-1-k}+a^{n}*b^{0} [/mm] = [mm] (a-b)*\summe_{k=0}^{n}a^{k}*b^{n-k}
[/mm]
Nun komme ich aber nicht weiter nachdem ich für k n-1 eingesetzt habe, sprich [mm] (a-b)*[a^{n-1}*b^{n-1-(n-1)}+a^{n}]=a^{n+1}+b^{n+1}
[/mm]
Ich habe zwar schon weiter aufgelöst aber bin nie zum richtigen Ergebnis gekommen
Ähnlich sieht es bei Aufgabe 2 aus
Ansatz: [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{2n+1}*(2n+1)^{2}=\summe_{k=0}^{2n+1}(-1)^{k}*k^{2}
[/mm]
Wobei [mm] -1^{2n+1} [/mm] ja immer negativ sein muss da für [mm] n\in\IN [/mm] ist ja 2n+1 immer ungerade oder?
Allerdings verhake ich mich auch hier bei der Auflösung
Naja lg und hoffe ihr könnt mir ein paar neue Ansätze geben oder sagen was ich falsch mache ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 25.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo R03N3!
Siehe mal hier, da wird gerade eine sehr ähnliche Aufgabe behandelt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 25.10.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Ähnlich sieht es bei Aufgabe 2 aus. Ansatz:
> [mm]\summe_{k=0}^{2n}(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{2n+1}*(2n+1)^{2}=\summe_{k=0}^{2n+1}(-1)^{k}*k^{2}[/mm]
Bedenke, dass du im Induktionsschritt zeigen musst, dass
[mm] \summe_{k=0}^{2\red{(n+1)}}(-1)^{k}*k^{2}=2*\red{(n+1)}^2+\red{(n+1)}.
[/mm]
Es ist [mm] 2*\red{(n+1)}=2*n+2
[/mm]
Jetzt kannst du zum einen
[mm] \summe_{k=0}^{2\red{(n+1)}}(-1)^{k}*k^{2}=\summe_{k=0}^{2n}(-1)^{k}*k^{2}+(-1)^{2n+1}*(2n+1)^{2}+(-1)^{2n+2}*(2n+2)^{2}=... [/mm] (Tipp: Verwende hier die Induktionsvoraussetzung)
und zum anderen
[mm] 2*\red{(n+1)}^2+\red{(n+1)}=...
[/mm]
berechnen.
> Wobei $ [mm] -1^{2n+1} [/mm] $ ja immer negativ sein muss da für $ [mm] n\in\IN [/mm] $ ist ja 2n+1 immer ungerade oder?
Ja! [mm] (-1)^{2n+1}=(-1) [/mm] bzw. [mm] (-1)^{2n+2}=1 \\\ \forall{n\in\IN}. [/mm]
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mo 26.10.2009 | | Autor: | R03N3 |
Vielen Dank für eure Hilfe hab es hinbekommen ;)
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