Bild-, Kern-, Rangberechnung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Fr 11.01.2013 | | Autor: | OOOOOO1 |
| Aufgabe | Es seien V und W K-Vektorräume und A: V [mm] \rightarrow [/mm] W eine lineare Abbildung. Aus der Vorlesung wissen Sie, dass
Kern A := [mm] \{v|Av = 0\} \subset [/mm] V und Bild A := [mm] \{Av|v \in V\} \subset [/mm] W,
Untervektorräume von V bzw. von W sind.
Es seien
[mm] A_1 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 &1 & -2 \\
2 & 3 & 0 & -5
\end{pmatrix} A_2 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 & -3 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
die Matrizen [mm] \IR-linearer [/mm] Abbildungen [mm] \IR^4 \rightarrow \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^4 [/mm] bezüglich der Standardbasen.
Berechnen Sie
a) Bild [mm] A_i, [/mm] i = 1,2.
b) Kern [mm] A_i, [/mm] i = 1,2.
c) Den Rang rang [mm] A_i, [/mm] i = 1,2.
d) Die Menge der Lösungen [mm] \{x\} \subset \IR^4 [/mm] von [mm] A_{i}x [/mm] = [mm] b_i, [/mm] i = 1,2, wo
[mm] b_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] b_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. [/mm] |
Würde mich sehr über etwas Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.
Danke im Vorraus,
OOOOOO1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien V und W K-Vektorräume und A: V [mm]\rightarrow[/mm] W eine
> lineare Abbildung. Aus der Vorlesung wissen Sie, dass
> Kern A := [mm]\{v|Av = 0\} \subset[/mm] V und Bild A := [mm]\{Av|v \in V\} \subset[/mm]
> W,
> Untervektorräume von V bzw. von W sind.
> Es seien
> [mm]A_1[/mm] := [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 &1 & -2 \\
2 & 3 & 0 & -5
\end{pmatrix} A_2[/mm]
> := [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
2 & -3 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> die Matrizen [mm]\IR-linearer[/mm] Abbildungen [mm]\IR^4 \rightarrow \IR^3[/mm]
> bzw. [mm]\IR^3 \rightarrow \IR^4[/mm] bezüglich der Standardbasen.
> Berechnen Sie
>
> a) Bild [mm]A_i,[/mm] i = 1,2.
>
> b) Kern [mm]A_i,[/mm] i = 1,2.
>
> c) Den Rang rang [mm]A_i,[/mm] i = 1,2.
>
> d) Die Menge der Lösungen [mm]\{x\} \subset \IR^4[/mm] von [mm]A_{i}x[/mm]
> = [mm]b_i,[/mm] i = 1,2, wo
> [mm]b_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]b_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Würde mich sehr über etwas Hilfe bei dieser Aufgabe
> freuen.
> Danke im Vorraus,
>
> OOOOOO1
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Prinzipiell gilt aber auch für Dich das gleiche wie das, was ich hier (klick!)
angesprochen habe. Also: Ideen? Oder woran scheiterst Du?
Und vielleicht ist es sinnvoller, die Aufgaben ein wenig zu trennen - anstatt
solch' eine "Sammelaufgabe" zu stellen. (Zumal dann auch die einzelnen
Teilaufgaben von mehreren gleichzeitig bearbeitet bzw. Deine Lösungen/
Ideen dazu kontrolliert werden können!)
Zumindest könnte man schonmal zwei Fragen daraus machen, eine für [mm] $A_1\,,$
[/mm]
die andere für [mm] $A_2\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
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Beachte in Zukunft Marcels Hinweis: wir wollen Lösungsansätze sehen.
Zu Deiner Aufgabe:
das Glück liegt hier in der Zeilenstufenform.
Bring Deine Matrix durch zeilenumformungen in diese Form, dann kann man alles weitere besprechen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 16.01.2013 | | Autor: | OOOOOO1 |
Den Rang und den Kern der beiden Matrizen habe ich herausgefunden.
Das Bild von [mm] A_1 [/mm] ist glaub ich [mm] \IR^3, [/mm] oder?
Wie komme ich auf das Bild von [mm] A_2?
[/mm]
Und auch bei Teilaufgabe d) bin ich ziemlich ahnungslos und würde ich mich über einen Lösungsansatz freuen.
Danke im Vorraus,
OOOOOO1
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Hallo,
> Den Rang und den Kern der beiden Matrizen habe ich
> herausgefunden.
> Das Bild von [mm]A_1[/mm] ist glaub ich [mm]\IR^3,[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt!
> Wie komme ich auf das Bild von [mm]A_2?[/mm]
Na, du hast doch Rang und Kern bestimmt, daraus kannst du doch leicht das Bild bestimmen ...
> Und auch bei Teilaufgabe d) bin ich ziemlich ahnungslos
> und würde ich mich über einen Lösungsansatz freuen.
Die Lösung eines inhomogenen LGS ist Summe der allg. Lösung des zugeh. homogenen LGS und einer partikulären Lösung des inhomogenen LGS.
Die Lösung des homogenen Systems hast du schon - wieso und wo?
Eine partikuläre des inhomogenen musst du dir noch beschaffen.
Du kannst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen und die in ZSF bringen; damit kommst du auf die Lösung ...
> Danke im Vorraus,
Das kleine "voraus" ist ganz bescheiden und kommt mit einem "r" aus ...
> OOOOOO1
Gruß
schachuzipus
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