Determinatenberechnung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
| Aufgabe | Aufgabe 32 (2+2+2+2 Punkte)
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden n × n-Matrizen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\
1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & 1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & 1 },
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1}& \cdots & x_{n}^{n-1}
},
[/mm]
[mm] \pmat{a & b & \cdots & \cdots & b\\
\vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & & & \ddots & b\\
a & \cdots & \cdots & \cdots & a
},
[/mm]
[mm] \pmat{ n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1\\
n-1 & n & n-1 & \cdots & 3 & 2 \\
n-2 & n-1 & n & \cdots & 4 & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & n-1 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n} [/mm] |
Hallo,
ich komme irgendwie bei diesen Aufgaben nich vorran. Mein Problem bei der ersten Matrix ist, das ich diese versuche mit dem Gauß-Algorithmus zu vereinfachen, doch nach 3 Umformungen steh ich wieder vor der Ausgangsmatrix.
Ich versuche die erste 1 der zweiten Zeile [mm] (\Rightarrow) [/mm] mit dem Gauß-Algorithmus zu einer 0 umzuformen indem ich die erste Zeile von der zweiten subtrahiere:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ \Rightarrow1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\\vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\0 &\cdots & \cdots & 0 & 1 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots &\ddots & \ddots & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & 1}
[/mm]
Ok, somit kann ich die erste Zeile und Spalte weglassen. Ich erhalte dann folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ 1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots &\ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1}
[/mm]
Naja und ab da komme ich nicht weiter. Ich würde die erste Zeile mit der der zweiten vertauschen, aber da würde eben dieselbe Matrix wie am Anfang rauskommen, was mir ja eigentlich nix weiter bringt. Ich weiß auch nicht so recht ob man die Zeilen einfach vertauschen darf...
Ein wenig Hilfe wäre sehr nett. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kevinus,
auch wenn's Deine zweite Anfrage hier ist, erstmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Das sind vier nette Aufgaben, die wahrscheinlich längere Diskussionen auslösen. Ich teile darum direkt mal auf. Generell ist es besser, Du stellst dafür tatsächlich vier Anfragen, damit die Stränge nicht so lang werden.
Edit: hier stand ein falscher Ansatz, den ich hiermit zurückziehe.
rev
Ganz manuell ausgerechnet sind:
[mm] \det{A_2}=a(a-b)
[/mm]
[mm] \det{A_3}=a(a-b)^2
[/mm]
[mm] \det{A_4}=a(a-b)^3
[/mm]
Auch editiert. Es ist sowas von nicht mein Tag...
Mehr später.
Hoffentlich letzter edit: die Lösung.
Umformung in eine obere Dreiecksmatrix gelingt leicht. Die 1.Zeile bleibt stehen (a b .... b). Dann kommt 2.Zeile-1.Zeile: (0 a-b 0 ... 0). Dann 3.Zeile-2.Zeile: (0 0 a-b 0 ... 0), etc. bis n.Zeile-(n-1).Zeile: (0 .... 0 a-b).
Die Determinante von [mm] A_n [/mm] ist also das Produkt der Glieder in der Hauptdiagonalen:
[mm] \det{A_n}=a(a-b)^{n-1}
[/mm]
So, Schluss jetzt mit dem Editieren.
Solange ich nur mit mir selber diskutiere, sind zwei Sachen sicher: die Spur der Diskussion wird bunt, aber nicht lang, und am Ende habe ich mir mehrmals widersprochen und trotzdem Recht. Oder so. 
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
> Ganz manuell ausgerechnet sind:
> [mm]\det{A_2}=a(a-b)[/mm]
> [mm]\det{A_3}=a(a-b)^2[/mm]
> [mm]\det{A_4}=a(a-b)^3[/mm]
>
> Hoffentlich letzter edit: die Lösung.
>
> Umformung in eine obere Dreiecksmatrix gelingt leicht. Die
> 1.Zeile bleibt stehen (a b .... b). Dann kommt
> 2.Zeile-1.Zeile: (0 a-b 0 ... 0).
Dann 3.Zeile-2.Zeile: (0 0 a-b 0 ... 0),
> etc. bis n.Zeile-(n-1).Zeile: (0 .... 0
> a-b).
Wie kommst du darauf? Ich würde da normalerweise auf folgendes kommen:
2.Zeile-1.Zeile = (0 a-b 0 ... 0)
3.Zeile-2.Zeile = (a a a b [mm] \cdots [/mm] b) - (0 a-b 0 [mm] \cdots [/mm] 0) = (a b a b [mm] \cdots [/mm] b)
Oder meinst du ich soll jede Zeile unter der 1. mit der ersten subtrahieren?
Also:
2.Zeile - 1.Zeile
3.Zeile - 1.Zeile
4.Zeile - 1.Zeile etc. ?
> Die Determinante von [mm]A_n[/mm] ist also das Produkt der Glieder
> in der Hauptdiagonalen:
>
> [mm]\det{A_n}=a(a-b)^{n-1}[/mm]
>
> So, Schluss jetzt mit dem Editieren.
> Solange ich nur mit mir selber diskutiere, sind zwei
> Sachen sicher: die Spur der Diskussion wird bunt, aber
> nicht lang, und am Ende habe ich mir mehrmals widersprochen
> und trotzdem Recht. Oder so.
>
> Grüße,
> reverend
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> Wie kommst du darauf? Ich würde da normalerweise auf
> folgendes kommen:
> 2.Zeile-1.Zeile = (0 a-b 0 ... 0)
> 3.Zeile-2.Zeile = (a a a b [mm]\cdots[/mm] b) - (0 a-b 0 [mm]\cdots[/mm] 0)
> = (a b a b [mm]\cdots[/mm] b)
Nein, ich meinte die ursprüngliche 3.Zeile und die ursprüngliche 2.Zeile, also
(a a a b [mm] \cdots [/mm] b) - (a a b b [mm] \cdots [/mm] b) = (0 0 a-b 0 [mm] \cdots [/mm] 0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
Ok. Und du bist dir sicher das das so richtig ist? Wir haben das nämlich noch nie so gmacht.
Demnach würde also eine Matrix folgender Form entstehen:
[mm] \vmat{ a & b & \cdots & \cdots & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & 0 & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a-b} [/mm] = [mm] \det{A_n}=a(a-b)^{n-1}
[/mm]
Wäre die Lösung so korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Sa 10.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, da bin ich sicher.
Die Lösung ist richtig - ich habe ja lange genug mit ihr gekämpft...
Lies bloß nicht die alten Varianten zu meinem Post zu dieser Matrix, da steht ein derartiger Unsinn drin.
lg,
reverend
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Hallo Kevinus,
mein Versuch zur 3. Matrix stimmt noch nicht, aber dafür dieser:
Entwickle [mm] \det{A_n} [/mm] nach der 1. Spalte, dann erhältst Du ja nur zwei Unterdeterminanten. Die erste davon ist [mm] \det{A_{n-1}}, [/mm] die zweite lässt sich prima nach der 1. Zeile entwickeln (in der nur eine 1 steht) und entpuppt sich dann als [mm] \det{A_{n-2}}.
[/mm]
Es gilt also rekursiv:
[mm] \det{A_n}=\det{A_{n-1}}-\det{A_{n-2}}
[/mm]
Dabei ist [mm] (A_2=0), A_3=-1, A_4=-1, [/mm] ab hier gilt die Rekursion: [mm] A_5=0, A_6=1, A_7=1, A_8=0 [/mm] und weiter periodisch, immer -1,-1,0,1,1,0...
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
> Hallo Kevinus,
>
> mein Versuch zur 3. Matrix stimmt noch nicht, aber dafür
> dieser:
>
> Entwickle [mm]\det{A_n}[/mm] nach der 1. Spalte, dann erhältst Du ja
> nur zwei Unterdeterminanten. Die erste davon ist
> [mm]\det{A_{n-1}},[/mm] die zweite lässt sich prima nach der 1.
> Zeile entwickeln (in der nur eine 1 steht) und entpuppt
> sich dann als [mm]\det{A_{n-2}}.[/mm]
>
Hallo reverend,
schon einmal danke, dass du dich so ausführlich mit meinen blöden Aufgaben beschäftigst. :)
Leider habe ich deinen Ansatz hier nicht verstanden. Wie entwickelt man solch eine Unterdeterminante? Und was meinst du mit "nach der 1. Spalte"? (selbiges gilt halt auch mit der Zeile)
Also kurz: Wie kommst du auf [mm] \det{A_{n-1}} [/mm] und [mm] \det{A_{n-2}}?
[/mm]
> Es gilt also rekursiv:
> [mm]\det{A_n}=\det{A_{n-1}}-\det{A_{n-2}}[/mm]
> Dabei ist [mm](A_2=0), A_3=-1, A_4=-1,[/mm] ab hier gilt die
> Rekursion: [mm]A_5=0, A_6=1, A_7=1, A_8=0[/mm] und weiter
> periodisch, immer -1,-1,0,1,1,0...
>
> lg,
> reverend
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Bis zu [mm] 3\times3- [/mm] Matrizen geht die Determinantenberechnung ja noch einfach, aber schon bei einer [mm] 4\times4- [/mm] Matrix muss man anders ansetzen.
Wie habt Ihr denn Determinanten definiert?
Habt Ihr dazu auch ein Verfahren besprochen?
Ohne solches Wissen sind die Aufgaben doch gar nicht lösbar, würden also auch nicht gestellt. Sie sind übrigens z.T. recht "haarig". Das fand ich ja gerade spannend daran.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Sa 10.01.2009 | | Autor: | reverend |
Schau im übrigen mal hier. Da hast Du auch gleich ein Beispiel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
Eine Berechnungsmethode der Determinante sah z.b. bei uns so aus:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 4} [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3} [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3} [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] = 1 [mm] \* [/mm] 2 [mm] \* [/mm] 2 = 4
Und so in der Art wollte ich halt die 1. Matrix lösen. Da diese aber n-stellig lang/groß ist verwirrt mich das halt alles.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
Dein Bsp. habe ich verstanden. Also versuche ich mal die Berechnung über die Entwicklung der 1. Spalte:
[mm] \det{A_n} [/mm] = 1 * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 1 } [/mm] - 1 * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 1 } [/mm] = [mm] \det{A_{n-1}}-\det{A_{n-2}}
[/mm]
Also ist [mm] \det{A_{n-1}} [/mm] = 1 * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
und [mm] \det{A_{n-2}} [/mm] = 1 * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 1 } [/mm] ? Wieso? Ich erkenne den Zusammenhang nicht.
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Stimmt auch noch nicht ganz, so dass es ganz richtig ist, wenn Du noch nichts erkennst.
> Dein Bsp. habe ich verstanden. Also versuche ich mal die
> Berechnung über die Entwicklung der 1. Spalte:
Hier mal die korrigierte Fassung:
[mm] \det{A_n}=1*\pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 }_{(n-1)\times(n-1)}- 1*\pmat{ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & \red{1} & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 }_{(n-1)\times(n-1)}
[/mm]
Jetzt weiter die rechte Matrix nach der 1. Zeile entwickeln (wo es nur noch eine 1 gibt):
[mm] \det{A_n}= 1*\det{A_{n-1}}-1*\pmat{ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 }_{(n-2)\times(n-2)}
[/mm]
[mm] =\det{A_{n-1}}-\det{A_{n-2}}
[/mm]
> ? Wieso? Ich erkenne den Zusammenhang nicht.
Jetzt besser?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
Ahh, danke. Jetzt hab ich es verstanden. Nach meiner falschen Rechnung oben wäre ja die 2. Matrix nach der Spaltenentwicklung, eine untere Dreiecksmatrix gewesen. Das wäre dann ja wohl zu einfach. ;)
Ich tüfftel mal noch an den anderen rum und schreib meine Ergebnis hier rein.
Danke schön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Determinante nach einer Yeile oder Spalte yu entwickeln habt ihr in deinem Beispiel gemacht.>
Man nimmt nacheinander jedes element der Spalte und multipliyiert es mit der "Unterdeterminante" das ist die det. die entsteht, indem man die Zeile und Spalte des Elementes wegstrecht.
Wenn in einer Spalte jetzt nur eine Zahl ungleich 0 steht werden alle anderen Unterdet. ja mit 0 mult. fallen also weg.
Mit der Unterdeterminante kannst du jetzt genauso umgehen. die Vorzeichen sind dabei abechselnd erstes element links oben +, nächstes - usw. immer abwechselnd.
Man kann in einer Det. Spalten oder Zeilen vertauschen, bei jeder Vertauschung ändert sich aber das Vorzeichen.
Auf diese Weise kannst du mit dem Ansatz, den du schon hattest für die erste Matrix weiter machen. Du musst nur überlegen, wie dabei die jeweils nächste Untermatrix aussieht.
also entweder nacheinander immer wieder Spalten (oder Zeilen) mit nur einer 1 erzeugen, oder jeweils die 2 Einsen nehmen und dann 2 Unterdeter, subtrahieren.
Gruss leduart
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Fangen wir doch mal anders an:
die Lösung ist [mm] \forall n\in\IN: \det{A_n}=(n+1)*2^{n-2}
[/mm]
Nun musst Du nur noch herausfinden, warum.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Kevinus |
Also ein Ansatz zur Lösung würde mir wesentlich mehr nutzen, als die Lösung selbst.
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Klar.
Manchmal hilft aber die Lösung, einen Weg zu finden. Man sieht ja schon das Ende.
Du könntest probieren, ob das denn für [mm] 2\times2 [/mm] und [mm] 3\times3 [/mm] stimmt, und dann mal sehen, was sich eigentlich verändert, wenn die Größe der Matrix wächst. Vielleicht ist ja dann die noch "vermutete" Formel per Induktion zu beweisen?
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Ich denke, da wird Dir nichts anderes übrigbleiben, als eine hübsche Permutationsschreibweise zu finden und die Vorzeichen für gerade und ungerade Permutationen verschieden zu bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Fr 09.01.2009 | | Autor: | reverend |
Es gibt doch eine Möglichkeit:
[mm] \det{A_n}=\produkt_{i=2}^{n}\produkt_{j=1}^{n-1}(x_i-x_j)
[/mm]
lg,
reverend
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