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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Di 01.12.2009 | | Autor: | MrAfI |
| Aufgabe | Sei k [mm] \in \IN [/mm] und f: (0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] definiert durch f(x) = [mm] \wurzel[k]{x}. [/mm] Beweisen Sie, dass f differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung
(i) mittels Definition,
(ii) mittels Rechenregeln. |
Hier die Ableitung zu berechnen, ist prinzipiell kein Problem. Nur der Beweis mittels Definition ist nicht ganz so einfach. Habe bereits einige Umformungen versucht, bin jedoch auf nichts brauchbares gestoßen.
Nach diesem Ansatz:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} - h) - f(x_{0})}{h}
[/mm]
Bin ich jetzt über:
[mm] \wurzel[k]{x} [/mm] = [mm] exp(\bruch{ln(x)}{k})
[/mm]
Auf folgendes gekommen:
[mm] \bruch{exp(\bruch{ln(x_{0}+h}{k})-exp(\bruch{ln(x_{0})}{k})}{h}
[/mm]
Habe schon alles Mögliche ausprobiert, komme jedoch keinen Schritt weiter. Hat Jemand von euch eine Ahnung, was zu tun ist?
Weil ich Erstposter bin: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Di 01.12.2009 | | Autor: | notinX |
Du hast in Deiner Definition einen kleinen Fehler, es muss lauten:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} [/mm] $
[mm] $f(x)=\wurzel[k]{x}$ [/mm] lässt sich auch schreiben als [mm] $f(x)=x^{\frac{1}{k}}$ [/mm] damit kann man besser rechnen.
Einsetzen in den Differentialquotienten liefert:
Sei [mm] $a\in(0,\infty)$
[/mm]
[mm] $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(a+h)^{\frac{1}{k}}-a^{\frac{1}{k}}}{h}$
[/mm]
Das sieht nach [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] aus und schreit nach L'Hospital
Bekommst Du den Rest alleine hin?
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> [mm]f(x)=\wurzel[k]{x}[/mm] lässt sich auch schreiben als
> [mm]f(x)=x^{\frac{1}{k}}[/mm] damit kann man besser rechnen.
> Einsetzen in den Differentialquotienten liefert:
> Sei [mm]a\in(0,\infty)[/mm]
>
> [mm]\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(a+h)^{\frac{1}{k}}-a^{\frac{1}{k}}}{h}[/mm]
> Das sieht nach [mm]\frac{0}{0}[/mm] aus und schreit nach
> L'Hospital
Hallo,
diesen Schrei müssen wir leider ignorieren:
da ja erst gezeigt werden soll, was die Ableitung von [mm] x^{\bruch{1}{k}} [/mm] ist, können wir sie schlecht verwenden, um sie zu bestimmen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 01.12.2009 | | Autor: | notinX |
Ach schade... wie funktionierts dann?
@MrAfI: Tut mir leid, wenn ich dir falsche Hoffnungen gemacht habe.
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Hiho,
> Nach diesem Ansatz:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} - h) - f(x_{0})}{h}[/mm]
Wie mein Vorposter schon geschrieben hat, müsste es [mm] $f(x_0 [/mm] + h)$ heissen .....
> Bin ich jetzt über:
> [mm]\wurzel[k]{x}[/mm] = [mm]exp(\bruch{ln(x)}{k})[/mm]
Das vergessen wir mal wieder und machen normal weiter:
[mm] $\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\sqrt[k]{x_{0} + h} - \sqrt[k]{x_{0}}}{h}$
[/mm]
Nun erweiter das ganze mal geschickt. Bedenke dabei, dass gilt:
[mm] $(x^k [/mm] - [mm] y^k) [/mm] = (x - [mm] y)(x^{k-1} [/mm] + [mm] x^{k-2}y [/mm] + ... + [mm] xy^{k-2} [/mm] + [mm] y^{k-1})$
[/mm]
Womit könntest du das denn nun erweitern, damit du die unschönen Wurzeln im Zähler wegbekommst?
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | MrAfI |
Hey,
Erstmal vielen Dank für eure Hilfe.
Habe jetzt mit dem binomischen Lehrsatz, den du mir vorgeschlagen hast, etwas herumgerechnet, bin allerdings noch nicht ganz fertig.
Meine Idee war jetzt, den Zähler umzuschreiben in
[mm] (x_{0} [/mm] + [mm] h)^{\bruch{1}{k}} [/mm] - [mm] (x_{0})^{\bruch{1}{k}} [/mm] und dann anschließend [(x + h) - (x)] * [mm] \summe_{i=0}^{??}
[/mm]
Allerdings müsste als obere Grenze für k - 1 in diesem Fall [mm] \bruch{1}{k} [/mm] - 1 stehen, was dann leider nichts bringt.
Wo liegt da mein Denkfehler?
grüße
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Hallo,
nur kurz:
vielleicht kannst Du hier die Früchte ernten von dem, was Fred gesät hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Mi 02.12.2009 | | Autor: | MrAfI |
Okay, damit hat sich die Frage erledigt. Bin nur falsch herum an den binomischen Lehrsatz herangegangen.
Ist aber wirklich nicht offensichtlich ;)
Grüße zurück an Dr. Network, Info B.Sc. RWTH 1.Sem?! xD
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