Drei Beweise (Ungleichungen) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 29.10.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | a) Es seien a und b reelle Zahlen größer gleich 0. Zeigen Sie: [mm] {\wurzel{ab}}\le{\bruch{a+b}{2}}
[/mm]
b) Es seien a1, a2, b1 und b2 reelle Zahlen. Beweisen Sie: (a1b1+a2b2)² kleiner gleich (a1²+a2²)(b1²+b2²)
c) Es seien an und a reelle Zahlen. Beweisen Sie: |an-a| kleiner gleich |a|/2 => 0.5|a| kleiner gleich |an| kleiner gleich 1.5|a| |
Hallo,
zuerst: Gibt es einen Unterschied zwischen "Zeigen" und "Beweisen"?
Dann zu den Aufgaben:
a)
Quadrieren: |ab| [mm] \le [/mm] (a+b)²/4
Minus 4ab: 0 [mm] \le [/mm] a²-2ab+b²
Binom bilden: 0 [mm] \le [/mm] (a-b)² q.e.d.
b)
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf einer Seite: 0 [mm] \le [/mm] a1²b2²-2a1b1a2b2+a2²b1²
Binom bilden: 0 [mm] \le [/mm] (a1b2-a2b1)² q.e.d.
c)
Aus |a| [mm] \le [/mm] b folgt -b [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b, also: -0.5|a| [mm] \le [/mm] an-a [mm] \le [/mm] 0.5|a|
|a| addieren: 0.5|a| [mm] \le [/mm] an-a+|a| [mm] \le [/mm] 1.5|a|
Fälle unterscheiden und entsprechend zusammenrechnen:
a [mm] \ge [/mm] 0 UND 0.5a [mm] \le [/mm] an [mm] \le [/mm] 1.5a
ODER
a [mm] \le [/mm] 0 UND 0.5a [mm] \ge [/mm] an [mm] \ge [/mm] 1.5a
Nun muss ich dies alles irgendwie noch zusammenpacken und dabei Beträge einbringen. Nach welchen Regeln kann ich dies nun tun?
Sind a) und b) denn korrekt?
Vielen Dank
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> a) Es seien a und b reelle Zahlen größer gleich 0. Zeigen
> Sie: [mm]{\wurzel{ab}}\le{\bruch{a+b}{2}}[/mm]
> b) Es seien a1, a2, b1 und b2 reelle Zahlen. Beweisen Sie:
> (a1b1+a2b2)² kleiner gleich (a1²+a2²)(b1²+b2²)
> c) Es seien an und a reelle Zahlen. Beweisen Sie: |an-a|
> kleiner gleich |a|/2 => 0.5|a| kleiner gleich |an|
> kleiner gleich 1.5|a|
> Hallo,
>
> zuerst: Gibt es einen Unterschied zwischen "Zeigen" und
> "Beweisen"?
"Zeige" ist eine Unsitte der Formulierung. Gemeint ist "Beweise".
>
> Dann zu den Aufgaben:
>
> a)
> Quadrieren: |ab| [mm]\le[/mm] (a+b)²/4
> Minus 4ab: 0 [mm]\le[/mm] a²-2ab+b²
> Binom bilden: 0 [mm]\le[/mm] (a-b)² q.e.d.
Ganz schlimm. Einen Beweis kann man nicht führen, indem man von der Behauptung ausgeht.
Beginne umgekehrt mit "Stets gilt [mm] 0\le (a-b)^2".
[/mm]
>
> b)
> Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf einer Seite: 0
> [mm]\le[/mm] a1²b2²-2a1b1a2b2+a2²b1²
Das ist ebenso unsauber.
Du kannst aber
(a1²+a2²)(b1²+b2²)- (a1b1+a2b2)² ausmultiplizieren, vereinfachen und zeigen, dass dieser Term [mm] \ge [/mm] 0 ist. Daraus folgt [mm] (a1²+a2²)(b1²+b2²)\ge [/mm] (a1b1+a2b2)²
Gruß ABAKUS
> Binom bilden: 0 [mm]\le[/mm] (a1b2-a2b1)² q.e.d.
>
> c)
> Aus |a| [mm]\le[/mm] b folgt -b [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b, also: -0.5|a| [mm]\le[/mm] an-a
> [mm]\le[/mm] 0.5|a|
> |a| addieren: 0.5|a| [mm]\le[/mm] an-a+|a| [mm]\le[/mm] 1.5|a|
> Fälle unterscheiden und entsprechend zusammenrechnen:
> a [mm]\ge[/mm] 0 UND 0.5a [mm]\le[/mm] an [mm]\le[/mm] 1.5a
> ODER
> a [mm]\le[/mm] 0 UND 0.5a [mm]\ge[/mm] an [mm]\ge[/mm] 1.5a
>
> Nun muss ich dies alles irgendwie noch zusammenpacken und
> dabei Beträge einbringen. Nach welchen Regeln kann ich
> dies nun tun?
>
> Sind a) und b) denn korrekt?
>
> Vielen Dank
> Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 29.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Gut, dann drehe ich das alles halt genau um.
Was ist denn mit der c)?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Do 29.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Bitte auch um Antwort in diesem Thread. Habe versehentlich die falsche Kategorie gewählt, auch dort geht es um Zahlentheorie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 30.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bitte auch um Antwort in diesem Thread.
> Habe versehentlich die falsche Kategorie gewählt, auch
> dort geht es um Zahlentheorie.
Dort geht es genausowenig um Zahlentheorie wie hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 30.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Welcher Bereich ist denn nun der richtige? Habe auf mehrfache Rückfrage ja noch keine Antwort erhalten... Würde es ja selbst gerne richtig machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welcher Bereich ist denn nun der richtige? Habe auf
> mehrfache Rückfrage ja noch keine Antwort erhalten...
> Würde es ja selbst gerne richtig machen.
Ich wuerde es unter "Sonstiges" einordnen oder direkt in das Hochschulmatheforum packen. Oder in die eindimensionale reelle Analysis.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Fr 30.10.2009 | | Autor: | fred97 |
1:
[mm] $|a_n| [/mm] = [mm] |a_n-a+a| \le |a_n-a|+|a| \le [/mm] |a|/2+|a| = 1,5|a|$
2:
$|a| = [mm] |a-a_n+a_n| \le |a-a_n|+|a_n| \le [/mm] |a|/2 [mm] +|a_n|$ [/mm] , also $|a|/2 [mm] \le |a_n|$
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Fr 30.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Es seien a und b reelle Zahlen größer gleich 0. Zeigen
> Sie: [mm]{\wurzel{ab}}\le{\bruch{a+b}{2}}[/mm]
>
> Quadrieren: |ab| [mm]\le[/mm] (a+b)²/4
> Minus 4ab: 0 [mm]\le[/mm] a²-2ab+b²
Auf der linken Seite hast du $4 |a b| - 4 a b$ und nicht 0. Nur wenn $a b [mm] \ge [/mm] 0$ ist ist das 0, andernfalls nicht.
(Hier kannst du z.B. eine Fallunterscheidung machen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Fr 30.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Oh, die Fallunterscheidung hätte mir natürlich auffallen sollen. Ist der Beweis denn dann ok, wenn ich dies anpasse? Ihr schient ja vehement gegen einen Beweis in "die falsche Richtung" zu protestieren. Bei Äquivalenzumformungen sollte das doch kein Problem sein und mit Fallunterscheidungen ist doch dann alles äquivalent, korrekt?
Danke!
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> Oh, die Fallunterscheidung hätte mir natürlich auffallen
> sollen. Ist der Beweis denn dann ok, wenn ich dies anpasse?
> Ihr schient ja vehement gegen einen Beweis in "die falsche
> Richtung" zu protestieren. Bei Äquivalenzumformungen
> sollte das doch kein Problem sein und mit
> Fallunterscheidungen ist doch dann alles äquivalent,
> korrekt?
Hallo,
wenn Du alles richtig machst, ist Dein Beweis richtig,
und wenn Du was falsch machst, ist er falsch.
So einfach ist das.
Nicht sonderlich erhellend - aber wahr.
Ob Du es richtig machst, kann man entscheiden, wenn man's sieht.
Weiß der Geier, was Du unter "anpassen" verstehst...
Deshalb werde ich mich tunlichst hüten, hier ja oder nein zu sagen.
Bei mir ist's "Anpassen" ja auch schon schon mehrmals gründlich in die Hose gegangen. Z.B. bei Hosen, die danach hochwassertauglich waren.
Ich hab' mich damit arrangiert und beschlossen, daß das todschick ist, aber wenn's 'nen Beweis gewesen wäre statt einer Hose, hätte ich damit nicht punkten können.
Zur Einsortierung: ordne de Aufgaben ienfach dem Namen der Vorlesung entsprechend ein. Meist liegt man damit nicht so grundverkehrt.
Ansonsten: Sachen, die sich mit den Körperaxiomen beschäftigen oder mit Gruppen, passen auch gut in Algebra > Körper, Ringe, Gruppen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > a) Es seien a und b reelle Zahlen größer gleich 0. Zeigen
> > Sie: [mm]{\wurzel{ab}}\le{\bruch{a+b}{2}}[/mm]
> >
> > Quadrieren: |ab| [mm]\le[/mm] (a+b)²/4
> > Minus 4ab: 0 [mm]\le[/mm] a²-2ab+b²
>
> Auf der linken Seite hast du [mm]4 |a b| - 4 a b[/mm] und nicht 0.
> Nur wenn [mm]a b \ge 0[/mm] ist ist das 0, andernfalls nicht.
Da hab ich was uebersehen: es war ja $a, b [mm] \ge [/mm] 0$ vorausgesetzt, womit $|a b| = a b$ ist.
LG Felix
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