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Forum "Uni-Stochastik" - Einfachste Aufgabe zur Faltung
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Einfachste Aufgabe zur Faltung: Faltung v. Gleichverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 04.09.2012
Autor: pablovschby

Aufgabe
Seien X, Y zwei auf [0,1] gleichverteilte ZV. Berechne die Dichte von X + Y.

Guten Tag

Ich habe zwar schon Beiträge zu diesem Thema gefunden, wurde daraus aber nicht schlau. Intuitiv würde ich sagen, die Dichte müsste [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein.

Wie aber kann ich hier die Faltung berechnen:

[mm] f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{0 \le u \le 1} * 1_{0 \le t-u \le 1} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{1_{0 \le t-u \le 1} du} [/mm]

Ich habe nun keine Ahnung, wie ich die Integrationsgrenzen ausmache mit der Bedingung:

t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t  (und 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1 )

Irgendwie ist t-1 wohl kleiner als 0 ??? Wie ist da nun vorzugehen?

Grüsse

        
Bezug
Einfachste Aufgabe zur Faltung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 04.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo pablovschby,


> Seien X, Y zwei auf [0,1] gleichverteilte ZV. Berechne die
> Dichte von X + Y.
>  Guten Tag
>  
> Ich habe zwar schon Beiträge zu diesem Thema gefunden,
> wurde daraus aber nicht schlau. Intuitiv würde ich sagen,
> die Dichte müsste [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein.
>  
> Wie aber kann ich hier die Faltung berechnen:

Ich nehme an, [mm]X,Y[/mm] sind zudem unabh.?!

>  
> [mm]f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{0 \le u \le 1} * 1_{0 \le t-u \le 1} du}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{1_{0 \le t-u \le 1} du}[/mm]
>  
> Ich habe nun keine Ahnung, wie ich die Integrationsgrenzen
> ausmache mit der Bedingung:
>  
> t-1 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] t  (und 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 1 )
>  
> Irgendwie ist t-1 wohl kleiner als 0 ??? Wie ist da nun
> vorzugehen?

[mm]f_{X+Y}(t)=\int\limits_{\IR}{1_{[0,1]}(u)\cdot{}1_{[0,1]}(t-u) \ du}[/mm]

Ziel ist es nun, die hintere Indikatorfunktion durch [mm]1_{\text{neues Intervall}}(u)[/mm] auszudrücken.

Es ist [mm]1_{[0,1]}(t-u)=1\gdw 0\le t-u\le 1[/mm]

[mm]\gdw t-1\le u\le t[/mm]

Mache dir das klar.

Damit kannst du das Faltungsintegral schreiben als [mm]\int\limits_{\IR}{1_{[0,1]}(u)\cdot{}1_{[t-1,t]}(u) \ du}[/mm]

Nun ist aber [mm]1_A(u)\cdot{}1_B(u)=1_{A\cap B}(u)[/mm]

Das kannst du ersetzen und musst überlegen, wann wohl die Indikatorfunktion über den Schnitt eine 1 liefert und wann eine 0 ...



>  
> Grüsse

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Einfachste Aufgabe zur Faltung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Di 04.09.2012
Autor: pablovschby

Danke.

Genau und genau das war dann auch die Frage (1.Beitrag).

Dass t-1 immer kleiner 0 ist, würde ich mal sagen, dass 0 die linke Seite ist. Aber die Frage war ja:

Wie geht man da vor, um diese Schnittmenge zu finden? Was sind die Grenzen und warum?

Grüsse

Bezug
                        
Bezug
Einfachste Aufgabe zur Faltung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Di 04.09.2012
Autor: luis52

Moin,

vielleicht kannst du hier Honig saugen.

vg Luis

Bezug
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