Herleitung Dreiecksverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 27.02.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo zusammen,
ich suche eine Herleitung für die Dichtefunktion einer (symmetrischen) Dreiecksverteilung:
Seien X,Y zwei rechteckverteilte Zufallsvariablen mit den (gleichen) Parametern a und b: X~R(a,b) und Y~R(a,b),
dann ist Z = X + Y (gleichschenkelig) dreiecksverteilt.
Als Nächstes folgt in meinen Literaturquellen direkt die entsprechende
Dichtefunktion f(z). Nur wie kommt man darauf?
Ein Literaturhinweis würde genügen!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße
Andy123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zur Dreiecksverteilung:
https://matheraum.de/read?t=10206&v=t
http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Dreiecksverteilung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Leolo |
Du bekommst dies über das Faltungsprodukt der beiden Rechteckverteilungen. Allgemeiner: sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten f und g, so ist X+Y eine absolut stetige Zufallsvariable mit Dichte
h(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x-y) g(y) dy
(das rechnet man mit Hilfe der Transformationsformel oder liest es z.B. in einem Stochastikbuch wie Krengel oder Georgii)
Setzt man nun für f und g die Rechteckverteilungen ein, so erhält man die Dreiecksverteilung.
Liebe Grüße
Leo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:00 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo zusammen,
danke für Eure Antworten!
@luis52:
Der Link hat mir bereits etwas weiter geholfen!
@Leo:
Die Faltung gilt IMHO für unabhängige Zufallsvariablen (?).
Muss ich hier nicht die Dichte zweier stetiger Zufallsvariablen berechnen mit:
$ f(z) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x,z-x)dx = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(z-y,y)dy $ ?
Das Beispiel im obigen Link kann ich zwar nachrechnen und gelange zum
Ergebnis; das Problem jedoch ist, dass ich nicht ganz die Fallunterscheidung verstehe bzw. warum die Integrationsgrenzen so gesetzt werden. (Sorry, müsst ein bißchen Geduld mit mir haben!)
Ebenfalls im oben genannten Link steht etwas von einer Skizze, die dies
veranschaulichen kann. Wie sieht diese aus? (Einheitsquadrat?)
Es wäre nett, wenn Ihr mir erklären könnt wie man auf diese Integrale (für Dichtefunktion oder Verteilungsfunktion) im Fall zweier standard-rechteckverteilter Zufallsvariablen kommt!
Viele Grüße
Andy123
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mi 28.02.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Andy,
ich habe anscheinend deine Frage zu fluechtig gelesen, denn in der
Voraussetzung steht nichts ueber die *gemeinsame* Verteilung von $(X,Y)$.
Willst du den Faltungssatz in seiner allgemeinen Form anwenden (also auf
die Unabhaengigkeitsannahme wie in der Formel von Leolo verzichten), so
musst du die Formel etwas sauberer aufschreiben. Bezeichnet $h$ die
Dichte von $X+Y$ und $f$ die gemeinsame Dichte von $(X,Y)$, so gilt
$ h(z) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x,z-x)dx [mm] =\integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(z-y,y)dy $
(Du solltest also nicht zweimal das $f$ verwenden). Meine Schwierigkeit
mit deiner Aufgabenstellung besteht also darin, dass du anscheinend
nichts ueber $f$ weisst. Die Kenntnis der (Rand-)Dichte von $X$ bzw. von
$Y$ reicht nicht aus. Nimmst du hingegen Unabhaengigkeit an, so reicht
das aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Andy123 |
| Aufgabe | Haben wir uns in Abschnitt 2.12 mit der gemeinsamen Verteilung zweier unabhängiger Zufallsgrößen X und Y beschäftigt, so wollen wir uns nun der Verteilung der Summe von X und Y zuwenden. Wir beschränken uns dabei auf den noch relativ einfach zu behandelnden Fall, dass X und Y die gleiche Rechteckverteilung U(a,b) besitzen. Die Verteilung der Summe $ Z=X+Y $ ist dann eine gleichschenkelige Dreiecksverteilung mit den Parametern a und b. Die Dichte dieser Verteilung, die man auch Simpson-Verteilung nennt, ... berechnet sich zu:
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = [mm] \bruch{2}{b-a}(\bruch{z-a}{b-a}/\bruch{1}{2}) [/mm] $ falls $ a [mm] \le [/mm] z [mm] \le \bruch{a+b}{2} [/mm] $
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = [mm] \bruch{2}{b-a}(\bruch{b-z}{b-a}/\bruch{1}{2}) [/mm] $ falls $ [mm] \bruch{a+b}{2} \le [/mm] z [mm] \le [/mm] b $
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = 0$ sonst
bzw.
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = [mm] \bruch{2}{b-a}(1- \bruch{2}{b-a}* \begin{vmatrix}
z-\bruch {a+b}{2} \end{vmatrix}) [/mm] $ falls $ a [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] b $
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = 0$ sonst
und in Bol:
$ [mm] f_{Z}(z) =\bruch{4}{(b-a)^2}(z-a) [/mm] $ falls $ a [mm] \le z\le \bruch{a+b}{2} [/mm] $
$ [mm] f_{Z}(z) =\bruch{4}{(b-a)^2}(b-z) [/mm] $ falls $ [mm] \bruch{a+b}{2} \le [/mm] z [mm] \le [/mm] b $
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = 0$ sonst
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Hallo luis52, hallo zusammen,
Du hast natürlich recht, von einer gemeinsamen Verteilung habe ich nicht gesprochen. Ob X und Y stochastisch unabhängig sind , ist mir aus
oben genannten Wortlaut nicht klar geworden (aus: Hartung (2005): Statistik, 14. Auflage, S. 195-196 bzw. Bol (1998): Wahrscheinlich- keitstheorie, 3. Auflage S.62). Jedoch fehlt die Angabe einer gemeinsamen Dichtefunktion (sofern Abhängigkeit bestehen soll). Daher nehme ich an, dass X und Y weiterhin stochastisch unabhängig sein sollen (?).
Trotz allem komme ich nicht auf die Dichtefunktion.
Kannst Du / Könnt Ihr mir helfen?
Viele Grüße
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Do 01.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Andy,
der Aufgabenstellung entnehme ich, dass $X$ und $Y$ als unabhaengig
angenommen werden.
Du schriebst, dass dir der von mir angegebene Link schon etwas
weitergeholfen hat. Was meinst du damit?
Ich meine, einen Loesungsweg gefunden zu haben, der auf dem Ergebnis dort basiert. Ich skizziere ihn hier ohne auf die Details einzugehen.
Im Vergleich zur "Linkloesung" ergibt sich hier die Schwierigkeit, dass
$X$ und $Y$ nicht gleichverteilt im Intervall (0,1) sind sondern im
Intervall $(a,b)$ mit $a<b$. Beachten wir, dass [mm] $U_1:=(X-a)/(b-a)$ [/mm] und
[mm] $U_2:=(Y-a)/(b-a)$ [/mm] unabhaengig und gleichverteilt im Intervall (0,1)sind, so kennen wir die Verteilung von [mm] $U_1+U_2$. [/mm] Hieraus folgt fuer $2a<z<2b$:
[mm] $H(z)=P(X+Y\le z)=P\left(\frac{X-a}{b-a}+\frac{Y-b}{b-a}\le\frac{z-2a}{b-a}\right)=P\left(U_1+U_2\le\frac{z-2a}{b-a}\right)$.
[/mm]
Leitest du die Verteilungsfunktion $H(z)$ nun ab, so erhaeltst du die gesuchte Dichte $h(z)$. Dabei musst du die Fallunterscheidung [mm] $2a
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 02.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis51,
danke für Deine Antwort!
Der von Dir genannte Link hat mir insofern weitergeholfen, dass er mir
einen Weg gezeigt hat wie man zu einer solchen Verteilungsfunktion kommt (ohne dies vollständig verstanden zu haben).
Im Folgenden versuche ich noch einmal mit eigenen "Worten"
Deinen Ansatz wiederzugeben:
Bleiben wir bei dem Fall, dass die beiden Zufallsvariablen $ X, Y $ mit den Parametern $ a, b $ gleichverteilt sind, d.h.
$ X [mm] \sim [/mm] R(a,b) $
$ Y [mm] \sim [/mm] R(a,b) $
und die Verteilungsfunktion von $ X $ lautet:
$ [mm] F_X(x) [/mm] = 0 $ für $ x < a $
$ [mm] F_X(x) [/mm] = [mm] \bruch{x-a}{b-a} [/mm] $ für $a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b$
$ [mm] F_X(x) [/mm] = 1 $ für $ x > b $
Analog $ [mm] F_Y(y) [/mm] $.
Weiter sind $ X, Y $ stochastisch unabhängig und eine Zufallsvariable $Z$ gegeben mit $ Z = X + Y $.
gesucht: Dichtefunktion / Verteilungsfunktion von $ Z $
Kann ich nun für die Verteilungsfunktion von $ Z $ schreiben:
[mm] $F_Z(z) [/mm] = P(Z [mm] \le [/mm] z) = P(X+Y [mm] \le [/mm] z) = P(X-a+Y-a [mm] \le [/mm] z-2a) = [mm] P(\bruch{X-a}{b-a}+ \bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a}) [/mm] $
für $ 2a<z<2b $?
Im Vergleich zu Deinem Beitrag
[mm] $H(z)=P(X+Y\le z)=P\left(\frac{X-a}{b-a}+\frac{Y-b}{b-a}\le\frac{z-2a}{b-a}\right)=P\left(U_1+U_2\le\frac{z-2a}{b-a}\right)$.
[/mm]
habe ich an dieser Stelle bereits zwei Fragen:
1. Muss ich auch hier anstelle von $ [mm] F_Z(z) [/mm] $ $ H(z) $ schreiben, um eine Verwechslung mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion auszuschließen? Diese könnte ich doch als $ [mm] F_{X,Y}(x,y) [/mm] $ bezeichnen?
2. Muss es in obiger Gleichung $Y-b$ oder $Y-a$ lauten?
Viele Grüße
Andy
P.S.: Versuche nun diesen Ansatz nachzugehen. Fortsetzung folgt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis52, hallo zusammen,
nach einer kleinen Auszeit möchte ich zunächst einen Ansatz präsentieren, der sich auf eine mögliche Skizze aus oben genannten Link bezieht:
Sei $ X,Y [mm] \sim [/mm] R(0;1) $ und $ Z= X+Y $ , so kann man in einem XY-Koordinatensystem ein Einheitsquadrat einzeichen mit den Punkten (0,0);(0,1);(1,1);(1,0). Der Flächeninhalt dieses Quadrates beträgt eins, so dass die Dichte $ [mm] f_{X,Y}(x.y) [/mm] $ im Einheitsquadrat den Wert eins und außerhalb den Wert null annimmt. Auf der Geraden, die durch die Punkte (0;1) und (1;0) geht, gilt $ z=x+y=1 $.
Fallunterscheidung:
Fall I: $ 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 $:
Die Verteilungsfunktion von Z lautet:
$ H(z) = [mm] \bruch{(z-0)^2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{z^2}{2} [/mm] $
und die Dichtefunktion von z:
$ h(z) = z $
Fall II: $ 1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2 $:
Zeichnet man eine Diagonale mit $ 1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2 $ ein, so kann die obere Seite des Quadrates zerlegt werden in die Strecken $z-1$ und $2-z$, so dass das oberhalb der Diagonalen liegende Dreieck berechnet werden kann mit $ [mm] \bruch{(2-z)^2}{2} [/mm] $. Da der (gesamte) Flächeninhalt des Quadrates eins beträgt, ergibt sich:
$ H(z) = 1 [mm] -\bruch{(2-z)^2}{2} [/mm] $
und
$ h(z) = 2-z $
Überträgt man diesen geometrischen Ansatz auf $ X,Y [mm] \sim [/mm] R(a;b) $ mit $ 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b $, so liegt ein Quadrat mit den Punkten (a;a),(a;b),(b;b),(b;a) vor. Der Flächeninhalt eines solchen Quadrates beträgt [mm] $(b-a)^2 [/mm] $, so dass die Dichte $ [mm] f_{X,Y}(x.y) [/mm] $ innerhalb des Quadrates den Wert $ [mm] \bruch{1}{(b-a)^2} [/mm] $ annimmt und ausserhalb null ist.
Zeichnet man wiederum eine Gerade durch die Punkte (a;b),(b;a), so erhält man eine Diagonale auf welcher z den Wert $ z=a+b $ animmt.
Fallunterscheidung:
Fall I: $ 2a [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] a+b $:
Der Flächeninhalt des unterhalb der Diagonalen liegenden Dreiecks kann berechnet werden mit $ [mm] \bruch{((b-a)-((a+b)-z))^2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(z-2a)^2}{2} [/mm] $, so dass
$ H(z) [mm] =\bruch{(z-2a)^2}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(b-a)^2}$
[/mm]
und
$ h(z) = [mm] \bruch{z-2a}{(b-a)^2} [/mm] $
ist.
Probe:
$ [mm] \integral_{2a}^{a+b} \bruch{z-2a}{(b-a)^2} [/mm] dz =0,5 $
Fall II: $ a+b [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2b $:
Zieht man eine solche Diagonale bis zu den Achsenabschnitten durch, erkennt man, dass die Strecke zwischen den Punkten (0;b),(b;b) in $ z-b $ und $2b-z $ zerlegt werden kann ($ (b-0)=b=z-b+2b-z $), so dass der Flächeninhalt des oberhalb der Diagonalen liegenden Dreiecks berechnet werden kann mit [mm] $\bruch{(2b-z)^2}{2} [/mm] $ und
$ H(z) =1- [mm] \bruch{(2b-z)^2}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(b-a)^2}$
[/mm]
und
$ h(z) = [mm] \bruch{2b-z}{(b-a)^2} [/mm] $
ist.
Probe:
$ [mm] \integral_{a+b}^{2b} \bruch{2b-z}{(b-a)^2} [/mm] dz=0,5 $
Kann man diesen Ansatz nachvollziehen und wenn ja, ist er richtig?
Grüße
Andy
P.S.: Versuche nun den Ansatz von luis52 nachzuvollziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 09.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Andy,
> Überträgt man diesen geometrischen Ansatz auf [mm]X,Y \sim R(a;b)[/mm]
> mit [mm]0 \le a \le b [/mm], so liegt ein Quadrat mit den Punkten
> (a;a),(a;b),(b;b),(b;a) vor. Der Flächeninhalt eines
> solchen Quadrates beträgt [mm](b-a)^2 [/mm], so dass die Dichte [mm]h(z)[/mm]
> innerhalb des Quadrates einen Wert von [mm]c= \bruch{1}{(b-a)^2}[/mm]
> annimmt und ausserhalb null ist.
Achtung: das ist ein anderes $h$ als das unten. Du solltest besser schreiben
[mm] $f_{x,y}(x,y)= \bruch{1}{(b-a)^2}$ [/mm] innerhalb des Quadrats und Null sonst. Damit weist du darauf hin, dass es sich um die gemeinsame Dichte von $(X,Y)$ (und nicht die von $X+Y$) handelt.
> Zeichnet man wiederum eine Gerade durch die Punkte
> (a;b),(b;a), so erhält man eine Diagonale auf welcher z den
> Wert [mm]z=a+b[/mm] animmt.
> Fallunterscheidung:
>
> Fall I: [mm]2a \le z \le a+b [/mm]:
> Der Flächeninhalt des unterhalb
> der Diagonalen liegenden Dreiecks kann berechnet werden mit
> [mm]\bruch{((b-a)-((a+b)-z))^2}{2} = \bruch{(z-2a)^2}{2} [/mm], so
> dass
> [mm]H(z) =\bruch{(z-2a)^2}{2} * \bruch{1}{(b-a)^2}[/mm]
> und
> [mm]h(z) = \bruch{z-2a}{(b-a)^2}[/mm]
> ist.
> Probe:
> [mm]\integral_{2a}^{a+b} \bruch{z-2a}{(b-a)^2} =0,5[/mm]
:-(( Bitte $dz$ nicht vergessen. Da bin leider ein konservativer alter Knacker.
>
> Fall II: [mm]a+b \le z \le 2b [/mm]:
> Zieht man eine solche
> Diagonale bis zu den Achsenabschnitten durch, erkennt man,
> dass obere Seite des Dreiecks in die Strecken [mm]z-b[/mm] und [mm]2b-z[/mm]
> zerlegt werden kann, so dass der Flächeninhalt des oberhalb
> der Diagonalen liegenden Dreiecks berechnet werden kann mit
> [mm]\bruch{(2b-z)^2}{2}[/mm] und
> [mm]H(z) =1- \bruch{(2b-z)^2}{2} * \bruch{1}{(b-a)^2}[/mm]
> und
> [mm]h(z) = \bruch{2b-z}{(b-a)^2}[/mm]
> ist.
> Probe:
> [mm]\integral_{a+b}^{2b} \bruch{2b-z}{(b-a)^2} =0,5[/mm]
>
:-(( S.o.
> Kann man diesen Ansatz nachvollziehen und wenn ja, ist er
> richtig?
Fall I konnte ich nachvollziehen, und ich meine, er ist richtig, Fall II
habe ich mir nicht weiter angesehen.
hth
>
> P.S.: Versuche nun den Ansatz von luis52 nachzuvollziehen.
>
Brav 
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 13.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis, hallo zusammen,
anscheinend brauche ich zur Lösung der Aufgabe noch ein wenig Hilfestellung:
Gerne möchte ich sowohl den Ansatz 1:
$ [mm] F_Z(z) [/mm] = P(Z [mm] \le [/mm] z) = P(X+Y [mm] \le [/mm] z) = P(X-a+Y-a [mm] \le [/mm] z-2a) = [mm] P(\bruch{X-a}{b-a}+ \bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a}) [/mm] $
für $ 2a<z<2b $
als auch den Ansatz 2:
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,z-x)dx [/mm] $
verstehen.
zu 1.:
Keine Ahnung wie ich hier die Verteilungsfunktion $ [mm] F_Z(z) [/mm] $ bzw. die Dichte $ [mm] f_Z(z) [/mm] $ bestimmen soll. Es ist für mich eine Zufallsgröße
zuviel bzw. die falsche Verteilung.
zu 2.:
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,z-x)dx [/mm] $
kann man wegen der Unabhängigkeit schreiben als:
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}f_{X}(x)*f_{Y}(z-x)dx [/mm] $
und weiter
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty} \bruch{1}{b-a}*\bruch{1}{b-a}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{(b-a)^2} \integral_{- \infty}^{\infty} [/mm] dx $
so dass für $ 2a [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] a+b $:
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(b-a)^2} \integral_{2a}^{z} [/mm] dx = [mm] \bruch{z-2a}{(b-a)^2} [/mm] $
und für $ a+b [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2b $:
$ [mm] f_Z(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(b-a)^2} \integral_{z}^{2b} [/mm] dx = [mm] \bruch{2b-z}{(b-a)^2} [/mm] $
sich ergibt.
Ist dies soweit richtig? $ [mm] F_Z(z) [/mm] $ zu bestimmen ist dann kein Problem.
Grüße
Andy
P.S.: Habe meinen letzten Beitrag korrigiert. Evtl. wird Fall II dann deutlich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 13.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis, hallo zusammen,
>
> Gerne möchte ich sowohl den Ansatz 1:
> [mm]F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X+Y \le z) = P(X-a+Y-a \le z-2a) = P(\bruch{X-a}{b-a}+ \bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a})[/mm]
>
> für [mm]2a
>
> als auch den Ansatz 2:
> [mm]f_Z(z) = \integral_{- \infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,z-x)dx[/mm]
>
> verstehen.
>
> zu 1.:
> Keine Ahnung wie ich hier die Verteilungsfunktion [mm]F_Z(z)[/mm]
> bzw. die Dichte [mm]f_Z(z)[/mm] bestimmen soll.
Hast du dir die Loesung unter
https://matheraum.de/read?t=229478
angeschaut? Dort steht, wie du [mm]P(\bruch{X-a}{b-a}+ \bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a})[/mm] ausrechnen kannst. Mach die Fallunterscheidung [mm] $2a
> Es ist für mich
> eine Zufallsgröße
> zuviel bzw. die falsche Verteilung.
Hier weiss ich nicht, was du meinst.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:48 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis, hallo zusammen,
den Artikel habe ich gelesen. "Nachrechnen" kann ich ihn zwar, aber nicht vollständig nachvollziehen:
Wenn man schreibt
[mm]F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X+Y \le z) = P(X-a+Y-a \le z-2a) = P(\bruch{X-a}{b-a}+ \bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a})[/mm]
dann ist $ [mm] \bruch{X-a}{b-a} [/mm] $ sowie $ [mm] \bruch{Y-a}{b-a} [/mm] $ jeweils standard-rechteck-verteilt auf [0;1].
Deren gemeinsame Dichte ist auf Grund der Unabhängigkeit eins für $ 0 [mm] \le \bruch{x-a}{b-a} \le [/mm] 1 $ und $ 0 [mm] \le \bruch{y-a}{b-a} \le [/mm] 1 $.
Weiterhin - analog zum o.g. Artikel - würde ich nun die obige Gleichung umstellen und das folgende Doppelintegral lösen:
[mm] P(\bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-2a}{b-a} - \bruch{x-a}{b-a}) = P(\bruch{Y-a}{b-a} \le \bruch{z-x -a}{b-a})=\int_{2a}^z\int_0^{ \bruch{z-x-a}{b-a}}\,dy\,dx[/mm]
für $ 2a [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] a+b $.
Anscheinend führt diese tollkühne Rechnung aber nicht zur Lösung.
Die Umstellung führt nur zu $ P(Y [mm] \le [/mm] z-x) $ , so dass die ersten Schritte
unnötig wären.
Rechne ich waghalsig hiermit weiter, so ergibt sich unter Berücksichtigung der gemeinsamen Dichte $ [mm] f_{X,Y}(x,z-x)=\bruch{1}{(b-a)^2} [/mm] $:
[mm] P(Y \le z-x) = \int_{2a}^z\int_0^{z-x} \bruch{1}{(b-a)^2}\,dy\,dx= \bruch{(z-2a)^2}{2(b-a)^2}[/mm]
für $ 2a [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] a+b $ zumindest die richtige Lösung.
Wesentliche Unsicherheit herrscht bei mir bzgl. der Integralgrenzen.
Kannst Du / Könntet Ihr mir noch einmal weiterhelfen?
Ist die Rechnung aus dem letzten Beitrag richtig (insbesondere das Integral für $ a+b [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2b $)?
Grüße
Andy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 18.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksverteilung![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
