Induktionsbeweis für Ableitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
| Aufgabe | Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung [mm] f^n(x) [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige Induktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(-5x+4)^4} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also angefangen habe ich indem ich die ersten 3 Ableitungen gebildet habe um dann eine allgemeine Formel aufzustellen.
[mm] f(x)=\bruch{1}{(-5x+4)^4}
[/mm]
[mm] f^1(x)=\bruch{20}{(-5x+4)^5}
[/mm]
[mm] f^2(x)=\bruch{500}{(-5x+4)^6}
[/mm]
[mm] f^3(x)=\bruch{15000}{(-5x+4)^7}
[/mm]
Leider komme ich hier auf keine allgemeine Formel
|
|
| |
|
Hallo Gakje,
> Finden Sie eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung
> [mm]f^n(x)[/mm] (n [mm]\ge[/mm] 0) und beweisen Sie sie durch vollständige
> Induktion:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{(-5x+4)^4}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also angefangen habe ich indem ich die ersten 3 Ableitungen
> gebildet habe um dann eine allgemeine Formel aufzustellen.
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(-5x+4)^4}[/mm]
> [mm]f^1(x)=\bruch{1}{-4(-5x+4)^5}[/mm]
Hier mußt Du mit der Kettenregel ableiten.
Das ergibt dann:
[mm]f^{\left(1\right)}\left(x\right)=-4*\bruch{1}{\left(-5x+4\right)^{5}}*\left(-5x+4\right)'[/mm]
[mm]= -4*\left(-5x+4\right)^{-5}*\left(-5x+4\right)'[/mm]
> [mm]f^2(x)=\bruch{1}{20(-5x+4)^6}[/mm]
> [mm]f^3(x)=\bruch{1}{-120(-5x+4)^7}[/mm]
> [mm]f^n(x)=\bruch{1}{(-1)^n \* \produkt_{i=1}^{n}(3+i) \* (-5x+4)^{4+n}}[/mm]
>
>
> Ja, dann habe ich mit der Induktion angefangen.
>
> Infuktionsanfang:
>
> n=1
> [mm]f^1(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{(-1)^1 \* \produkt_{i=1}^{1}(3+i) \* (-5x+4)^{4+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{-4(-5x+4)^5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A(n) gilt!
>
> Induktionsannahme:
>
> wenn A(n) gilt, dann gilt auch A(n+1), glaube das schreibt
> man A(n) [mm]\gdw[/mm] A(n+1)
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]f^{n+1}(x)= \bruch{1}{(-1)^{n+1} \* \produkt_{i=1}^{n+1}(3+i) \* (-5x+4)^{4+n+1}}[/mm]
>
> Leider weiss ich jetzt nicht mehr weiter und bitte um eure
> Hilfe, da ihr mir schon einmal bei einem Induktionsproblem
> geholfen habt.
Die Ableitunge mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Danke im Voraus.
>
> Mfg
> Gakje
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 So 26.04.2009 | | Autor: | Gakje |
ich werde das ändern und gleich auch in der frage ändern.
|
|
|
| |
|
Hallo Gakje,
bitte vermeide doch in Zukunft Doppelposts
Ich schließe diese Frage, weil du ja nun im anderen thread eine Antwort hast ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
